微分積分例

$y = \ln (| 3 x^{2} - 5 x |)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| 3 x^{2} - 5 x |))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = | 3 x^{2} - 5 x |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $| 3 x^{2} - 5 x |$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 5 x |]$

ステップ 3.1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 5 x |]$

ステップ 3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $| 3 x^{2} - 5 x |$ で置き換えます。

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 5 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 5 x |]$

ステップ 3.2

$f (x) = | x |$ および $g (x) = 3 x^{2} - 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x^{2} - 5 x$ とします。

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 5 x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

ステップ 3.2.2

$u_{2}$ に関する $| u_{2} |$ の微分係数は $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ です。

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 5 x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x^{2} - 5 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 5 x |} (\frac{3 x^{2} - 5 x}{| 3 x^{2} - 5 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

ステップ 3.3

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| 3 x^{2} - 5 x |}$ に $\frac{1}{| 3 x^{2} - 5 x |}$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| 3 x^{2} - 5 x | | 3 x^{2} - 5 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

ステップ 3.4

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| (3 x^{2} - 5 x) (3 x^{2} - 5 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

ステップ 3.5

$3 x^{2} - 5 x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{1} (3 x^{2} - 5 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

ステップ 3.6

$3 x^{2} - 5 x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{1} {(3 x^{2} - 5 x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

ステップ 3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

ステップ 3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

ステップ 3.9

総和則では、 $3 x^{2} - 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ です。

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

ステップ 3.10

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

ステップ 3.11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

ステップ 3.12

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

ステップ 3.13

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (6 x - 5 \cdot 1)$

ステップ 3.15

$- 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (6 x - 5)$

ステップ 3.16

簡約します。

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ステップ 3.16.1

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (6 x - 5)$ の因数を並べ替えます。

$(6 x - 5) \frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |}$

ステップ 3.16.2

$x$ を $3 x^{2} - 5 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.16.2.1

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x) - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |}$

ステップ 3.16.2.2

$x$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x) + x \cdot - 5}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |}$

ステップ 3.16.2.3

$x$ を $x (3 x) + x \cdot - 5$ で因数分解します。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |}$

ステップ 3.16.3

分母を簡約します。

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ステップ 3.16.3.1

$x$ を $3 x^{2} - 5 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.16.3.1.1

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| {(x (3 x) - 5 x)}^{2} |}$

ステップ 3.16.3.1.2

$x$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| {(x (3 x) + x \cdot - 5)}^{2} |}$

ステップ 3.16.3.1.3

$x$ を $x (3 x) + x \cdot - 5$ で因数分解します。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| {(x (3 x - 5))}^{2} |}$

ステップ 3.16.3.2

積の法則を $x (3 x - 5)$ に当てはめます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} {(3 x - 5)}^{2} |}$

ステップ 3.16.3.3

${(3 x - 5)}^{2}$ を $(3 x - 5) (3 x - 5)$ に書き換えます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} ((3 x - 5) (3 x - 5)) |}$

ステップ 3.16.3.4

分配法則（FOIL法）を使って $(3 x - 5) (3 x - 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.3.4.1

分配則を当てはめます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (3 x (3 x - 5) - 5 (3 x - 5)) |}$

ステップ 3.16.3.4.2

分配則を当てはめます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x - 5)) |}$

ステップ 3.16.3.4.3

分配則を当てはめます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) |}$

ステップ 3.16.3.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.16.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.3.5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) |}$

ステップ 3.16.3.5.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.16.3.5.1.2.1

$x$ を移動させます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) |}$

ステップ 3.16.3.5.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) |}$

ステップ 3.16.3.5.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) |}$

ステップ 3.16.3.5.1.4

$- 5$ に $3$ をかけます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) |}$

ステップ 3.16.3.5.1.5

$3$ に $- 5$ をかけます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 15 x - 5 \cdot - 5) |}$

ステップ 3.16.3.5.1.6

$- 5$ に $- 5$ をかけます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 15 x + 25) |}$

ステップ 3.16.3.5.2

$- 15 x$ から $15 x$ を引きます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} - 30 x + 25) |}$

ステップ 3.16.3.6

分配則を当てはめます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 30 x) + x^{2} \cdot 25 |}$

ステップ 3.16.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.3.7.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 30 x) + x^{2} \cdot 25 |}$

ステップ 3.16.3.7.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{2} x^{2} - 30 x^{2} x + x^{2} \cdot 25 |}$

ステップ 3.16.3.7.3

$25$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{2} x^{2} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2} |}$

ステップ 3.16.3.8

各項を簡約します。

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ステップ 3.16.3.8.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.16.3.8.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 (x^{2} x^{2}) - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2} |}$

ステップ 3.16.3.8.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{2 + 2} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2} |}$

ステップ 3.16.3.8.1.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{4} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2} |}$

ステップ 3.16.3.8.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.16.3.8.2.1

$x$ を移動させます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{4} - 30 (x \cdot x^{2}) + 25 \cdot x^{2} |}$

ステップ 3.16.3.8.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.16.3.8.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{4} - 30 (x^{1} x^{2}) + 25 \cdot x^{2} |}$

ステップ 3.16.3.8.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{4} - 30 x^{1 + 2} + 25 \cdot x^{2} |}$

ステップ 3.16.3.8.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{4} - 30 x^{3} + 25 \cdot x^{2} |}$

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{4} - 30 x^{3} + 25 x^{2} |}$

ステップ 3.16.3.9

$x^{2}$ を $9 x^{4} - 30 x^{3} + 25 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.3.9.1

$x^{2}$ を $9 x^{4}$ で因数分解します。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2}) - 30 x^{3} + 25 x^{2} |}$

ステップ 3.16.3.9.2

$x^{2}$ を $- 30 x^{3}$ で因数分解します。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 30 x) + 25 x^{2} |}$

ステップ 3.16.3.9.3

$x^{2}$ を $25 x^{2}$ で因数分解します。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 30 x) + x^{2} \cdot 25 |}$

ステップ 3.16.3.9.4

$x^{2}$ を $x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 30 x)$ で因数分解します。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} - 30 x) + x^{2} \cdot 25 |}$

ステップ 3.16.3.9.5

$x^{2}$ を $x^{2} (9 x^{2} - 30 x) + x^{2} \cdot 25$ で因数分解します。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} - 30 x + 25) |}$

ステップ 3.16.3.10

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.16.3.10.1

$9 x^{2}$ を ${(3 x)}^{2}$ に書き換えます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 30 x + 25) |}$

ステップ 3.16.3.10.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 30 x + 5^{2}) |}$

ステップ 3.16.3.10.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$30 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 5$

ステップ 3.16.3.10.4

多項式を書き換えます。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 5 + 5^{2}) |}$

ステップ 3.16.3.10.5

$a = 3 x$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} {(3 x - 5)}^{2} |}$

ステップ 3.16.4

絶対値から非負の項を削除します。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{x^{2} {(3 x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16.5

共通因数を約分します。

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ステップ 3.16.5.1

$x$ を $x^{2} {(3 x - 5)}^{2}$ で因数分解します。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{x (x {(3 x - 5)}^{2})}$

ステップ 3.16.5.2

共通因数を約分します。

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{x (x {(3 x - 5)}^{2})}$

ステップ 3.16.5.3

式を書き換えます。

$(6 x - 5) \frac{3 x - 5}{x {(3 x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16.6

$3 x - 5$ と ${(3 x - 5)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.16.6.1

$1$ を掛けます。

$(6 x - 5) \frac{(3 x - 5) \cdot 1}{x {(3 x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.6.2.1

$3 x - 5$ を $x {(3 x - 5)}^{2}$ で因数分解します。

$(6 x - 5) \frac{(3 x - 5) \cdot 1}{(3 x - 5) (x (3 x - 5))}$

ステップ 3.16.6.2.2

共通因数を約分します。

$(6 x - 5) \frac{(3 x - 5) \cdot 1}{(3 x - 5) (x (3 x - 5))}$

ステップ 3.16.6.2.3

式を書き換えます。

$(6 x - 5) \frac{1}{x (3 x - 5)}$

ステップ 3.16.7

$6 x - 5$ に $\frac{1}{x (3 x - 5)}$ をかけます。

$\frac{6 x - 5}{x (3 x - 5)}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{6 x - 5}{x (3 x - 5)}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 5}{x (3 x - 5)}$

微分積分 例

微分積分例