微分積分例

$y = x^{2} \sqrt{x^{2} + 9}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 9}$ を ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = x^{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 9$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 9$ で置き換えます。

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.7

分数をまとめます。

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ステップ 4.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x^{2} (\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x^{2} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.7.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.8

総和則では、 $x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.10

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.11

分数をまとめます。

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ステップ 4.11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.11.2

$2$ と $\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.11.3

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2} x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.12

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2})}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.14

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 4.14.1

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.14.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.15

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

ステップ 4.16

$2$ を ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x$

ステップ 4.17

公分母を利用して $\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ と $2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x$ を組み合わせます。

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ステップ 4.17.1

${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.17.2

$2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.17.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.18

指数を足して ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.18.1

${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{x^{3} + 2 x ({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.18.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.18.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.18.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.18.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 9)}^{1}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.19

$2 x {(x^{2} + 9)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20

簡約します。

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ステップ 4.20.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.20.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.20.2.1.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.20.2.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{x^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20.2.1.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 4.20.2.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20.2.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20.2.1.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + 2 x^{3} + 2 x \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20.2.1.2

$9$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{3} + 2 x^{3} + 18 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20.2.2

$x^{3}$ と $2 x^{3}$ をたし算します。

$\frac{3 x^{3} + 18 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20.3

$3 x$ を $3 x^{3} + 18 x$ で因数分解します。

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ステップ 4.20.3.1

$3 x$ を $3 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 x (x^{2}) + 18 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20.3.2

$3 x$ を $18 x$ で因数分解します。

$\frac{3 x (x^{2}) + 3 x (6)}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20.3.3

$3 x$ を $3 x (x^{2}) + 3 x (6)$ で因数分解します。

$\frac{3 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{3 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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