微分積分例

$y = x^{5} \ln (x) - \frac{1}{4} x^{4}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{5} \ln (x) - \frac{1}{4} x^{4})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $x^{5} \ln (x) - \frac{1}{4} x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

ステップ 3.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

ステップ 3.2.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

ステップ 3.2.4

$x^{5}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

ステップ 3.2.5

$x^{5}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

ステップ 3.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

ステップ 3.2.5.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

ステップ 3.2.5.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

ステップ 3.2.5.2.4

式を書き換えます。

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

ステップ 3.2.5.2.5

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{4} x^{4}$ の微分係数は $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 3.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - \frac{1}{4} (4 x^{3})$

ステップ 3.3.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - 4 (\frac{1}{4}) x^{3}$

ステップ 3.3.4

$- 4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{- 4}{4} x^{3}$

ステップ 3.3.5

$\frac{- 4}{4}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{- 4 x^{3}}{4}$

ステップ 3.3.6

$- 4$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1

$4$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{4 (- x^{3})}{4}$

ステップ 3.3.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{4 (- x^{3})}{4 (1)}$

ステップ 3.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{4 (- x^{3})}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.3.6.2.3

式を書き換えます。

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{- x^{3}}{1}$

ステップ 3.3.6.2.4

$- x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - x^{3}$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$x^{4} - x^{3} + 5 x^{4} \ln (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = x^{4} - x^{3} + 5 x^{4} \ln (x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + 5 x^{4} \ln (x)$

微分積分 例

微分積分例