微分積分例

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{2}{3^{i}}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、無限等比級数の和は公式 $\frac{a}{1 - r}$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{i}$ と $a_{i + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{\frac{2}{3^{i + 1}}}{\frac{2}{3^{i}}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$r = \frac{2}{3^{i + 1}} \cdot \frac{3^{i}}{2}$

ステップ 2.2.2

まとめる。

$r = \frac{2 \cdot 3^{i}}{3^{i + 1} \cdot 2}$

ステップ 2.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1

共通因数を約分します。

$r = \frac{2 \cdot 3^{i}}{3^{i + 1} \cdot 2}$

ステップ 2.2.3.2

式を書き換えます。

$r = \frac{3^{i}}{3^{i + 1}}$

ステップ 2.2.4

$3^{i}$ と $3^{i + 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.1

$3^{i + 1}$ を $3^{i}$ で因数分解します。

$r = \frac{3^{i + 1} \cdot 3^{i - (i + 1)}}{3^{i + 1}}$

ステップ 2.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{3^{i + 1} \cdot 3^{i - (i + 1)}}{3^{i + 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{3^{i + 1} \cdot 3^{i - (i + 1)}}{3^{i + 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.4.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{3^{i - (i + 1)}}{1}$

ステップ 2.2.4.2.4

$3^{i - (i + 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = 3^{i - (i + 1)}$

ステップ 2.2.5

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

分配則を当てはめます。

$r = 3^{i - i - 1 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$r = 3^{i - i - 1}$

ステップ 2.2.6

$i$ から $i$ を引きます。

$r = 3^{0 - 1}$

ステップ 2.2.7

$0$ から $1$ を引きます。

$r = 3^{- 1}$

ステップ 2.2.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$r = \frac{1}{3}$

ステップ 3

$| r | < 1$ なので、級数は収束します。

ステップ 4

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 4.1

$i$ の $1$ を $\frac{2}{3^{i}}$ に代入します。

$a = \frac{2}{3^{1}}$

ステップ 4.2

指数を求めます。

$a = \frac{2}{3}$

ステップ 5

比と第1項の値を和の公式に代入します。

$\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{3}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

ステップ 6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

ステップ 6.2.3

$3$ から $1$ を引きます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

ステップ 6.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2}{3} (1 (\frac{3}{2}))$

ステップ 6.4

$\frac{3}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

ステップ 6.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

ステップ 6.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot 3$

ステップ 6.6

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} \cdot 3$

ステップ 6.6.2

式を書き換えます。

$1$

微分積分 例

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