微分積分例

$\sum_{i = 1}^{\infty} 3 \cdot {0.2}^{i - 1}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、無限等比級数の和は公式 $\frac{a}{1 - r}$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{i}$ と $a_{i + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{3 \cdot {0.2}^{i + 1 - 1}}{3 \cdot {0.2}^{i - 1}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$r = \frac{3 \cdot {0.2}^{i + 1 - 1}}{3 \cdot {0.2}^{i - 1}}$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$r = \frac{{0.2}^{i + 1 - 1}}{{0.2}^{i - 1}}$

ステップ 2.2.2

${0.2}^{i + 1 - 1}$ と ${0.2}^{i - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

${0.2}^{i - 1}$ を ${0.2}^{i + 1 - 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{0.2}^{i - 1} \cdot {0.2}^{i + 0 - (i - 1)}}{{0.2}^{i - 1}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{0.2}^{i - 1} \cdot {0.2}^{i + 0 - (i - 1)}}{{0.2}^{i - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{0.2}^{i - 1} \cdot {0.2}^{i + 0 - (i - 1)}}{{0.2}^{i - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{{0.2}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

${0.2}^{i + 0 - (i - 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = {0.2}^{i + 0 - (i - 1)}$

ステップ 2.2.3

$i$ と $0$ をたし算します。

$r = {0.2}^{i - (i - 1)}$

ステップ 2.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$r = {0.2}^{i - i - - 1}$

ステップ 2.2.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r = {0.2}^{i - i + 1}$

ステップ 2.2.5

$i$ から $i$ を引きます。

$r = {0.2}^{0 + 1}$

ステップ 2.2.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$r = {0.2}^{1}$

ステップ 2.2.7

指数を求めます。

$r = 0.2$

ステップ 3

$| r | < 1$ なので、級数は収束します。

ステップ 4

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 4.1

$i$ の $1$ を $3 \cdot {0.2}^{i - 1}$ に代入します。

$a = 3 \cdot {0.2}^{1 - 1}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$a = 3 \cdot {0.2}^{0}$

ステップ 4.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 3 \cdot 1$

ステップ 4.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$a = 3$

ステップ 5

比と第1項の値を和の公式に代入します。

$\frac{3}{1 - 0.2}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$1$ から $0.2$ を引きます。

$\frac{3}{0.8}$

ステップ 6.2

$3$ を $0.8$ で割ります。

$3.75$

微分積分 例

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