微分積分例

$\sum_{i = 1}^{9} {(i - 1)}^{2}$

ステップ 1

総和を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(i - 1)}^{2}$ を $(i - 1) (i - 1)$ に書き換えます。

$(i - 1) (i - 1)$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(i - 1) (i - 1)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$i (i - 1) - 1 (i - 1)$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1)$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$i$ に $i$ をかけます。

$i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.1.2

$- 1$ を $i$ の左に移動させます。

$i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.1.3

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.1.4

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$i^{2} - i - i + 1$

ステップ 1.3.2

$- i$ から $i$ を引きます。

$i^{2} - 2 i + 1$

ステップ 1.4

総和を書き換えます。

$\sum_{i = 1}^{9} i^{2} - 2 i + 1$

ステップ 2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{i = 1}^{9} i^{2} - 2 i + 1 = \sum_{i = 1}^{9} i^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{9} i + \sum_{i = 1}^{9} 1$

ステップ 3

$\sum_{i = 1}^{9} i^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 3.2

値を公式に代入します。

$\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$9$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

$3$ を $9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{6}$

ステップ 3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 (2)}$

ステップ 3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{2}$

ステップ 3.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{3 (9 + 1) (18 + 1)}{2}$

ステップ 3.3.2.2

$9$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 \cdot 10 (18 + 1)}{2}$

ステップ 3.3.2.3

$3$ に $10$ をかけます。

$\frac{30 (18 + 1)}{2}$

ステップ 3.3.2.4

$18$ と $1$ をたし算します。

$\frac{30 \cdot 19}{2}$

ステップ 3.3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$30$ に $19$ をかけます。

$\frac{570}{2}$

ステップ 3.3.3.2

$570$ を $2$ で割ります。

$285$

ステップ 4

$2 \sum_{i = 1}^{9} i$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 4.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(- 2) (\frac{9 (9 + 1)}{2})$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$9$ と $1$ をたし算します。

$- 2 \frac{9 \cdot 10}{2}$

ステップ 4.3.1.2

$9$ に $10$ をかけます。

$- 2 (\frac{90}{2})$

ステップ 4.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{90}{2}$

ステップ 4.3.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{90}{2}$

ステップ 4.3.2.3

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 90$

ステップ 4.3.3

$- 1$ に $90$ をかけます。

$- 90$

ステップ 5

$\sum_{i = 1}^{9} 1$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 5.2

値を公式に代入します。

$(1) (9)$

ステップ 5.3

$9$ に $1$ をかけます。

$9$

ステップ 6

合計した結果を足します。

$285 - 90 + 9$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$285$ から $90$ を引きます。

$195 + 9$

ステップ 7.2

$195$ と $9$ をたし算します。

$204$

微分積分 例

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