微分積分例

$\sum_{i = 1}^{9} {(- \frac{1}{4})}^{i}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{i}$ と $a_{i + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i + 1}}{{(- \frac{1}{4})}^{i}}$

ステップ 2.2

${(- \frac{1}{4})}^{i + 1}$ と ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

${(- \frac{1}{4})}^{i}$ を ${(- \frac{1}{4})}^{i + 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i}}$

ステップ 2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{- \frac{1}{4}}{1}$

ステップ 2.2.2.4

$- \frac{1}{4}$ を $1$ で割ります。

$r = - \frac{1}{4}$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$i$ の $1$ を ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ に代入します。

$a = {(- \frac{1}{4})}^{1}$

ステップ 3.2

簡約します。

$a = - \frac{1}{4}$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - {(- \frac{1}{4})}^{9}}{1 - - \frac{1}{4}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 5.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{4}$ に当てはめます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{1}{4})}^{9})}{1 - - \frac{1}{4}}$

ステップ 5.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{4}$ に当てはめます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{1^{9}}{4^{9}})}{1 - - \frac{1}{4}}$

ステップ 5.1.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{9}$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.1

${(- 1)}^{9}$ を移動させます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

ステップ 5.1.2.2

${(- 1)}^{9}$ に $- 1$ をかけます。

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ステップ 5.1.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

ステップ 5.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

ステップ 5.1.2.3

$9$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

ステップ 5.1.3

$- 1$ を $10$ 乗します。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + 1 \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

ステップ 5.1.4

$\frac{1^{9}}{4^{9}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

ステップ 5.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

ステップ 5.1.6

$4$ を $9$ 乗します。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

ステップ 5.1.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262144}{262144} + \frac{1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

ステップ 5.1.8

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262144 + 1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

ステップ 5.1.9

$262144$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

ステップ 5.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- - \frac{1}{4}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 + 1 (\frac{1}{4})}$

ステップ 5.2.1.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 + \frac{1}{4}}$

ステップ 5.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

ステップ 5.2.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{4 + 1}{4}}$

ステップ 5.2.4

$4$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{5}{4}}$

ステップ 5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{4} (\frac{262145}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

ステップ 5.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$5$ を $262145$ で因数分解します。

$- \frac{1}{4} (\frac{5 (52429)}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{4} (\frac{5 \cdot 52429}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

ステップ 5.4.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{262144} \cdot 4)$

ステップ 5.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.1

$4$ を $262144$ で因数分解します。

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{4 (65536)} \cdot 4)$

ステップ 5.5.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{4 \cdot 65536} \cdot 4)$

ステップ 5.5.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{52429}{65536}$

ステップ 5.6

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{52429}{65536}$ を掛けます。

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ステップ 5.6.1

$\frac{52429}{65536}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{52429}{65536 \cdot 4}$

ステップ 5.6.2

$65536$ に $4$ をかけます。

$- \frac{52429}{262144}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{52429}{262144}$

10進法形式：

$- 0.20000076 \dots$

微分積分 例

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