微分積分例

$\sum_{i = 3}^{13} {(i - 3)}^{2}$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

${(i - 3)}^{2}$ を $(i - 3) (i - 3)$ に書き換えます。

$(i - 3) (i - 3)$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(i - 3) (i - 3)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$i (i - 3) - 3 (i - 3)$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 (i - 3)$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$i$ に $i$ をかけます。

$i^{2} + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

ステップ 1.3.1.2

$- 3$ を $i$ の左に移動させます。

$i^{2} - 3 \cdot i - 3 i - 3 \cdot - 3$

ステップ 1.3.1.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$i^{2} - 3 i - 3 i + 9$

ステップ 1.3.2

$- 3 i$ から $3 i$ を引きます。

$i^{2} - 6 i + 9$

ステップ 1.4

総和を書き換えます。

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9$

ステップ 2

総和を分割し、 $i$ の始めの値が $1$ に等しくなるようにします。

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 - \sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$

ステップ 3

$\sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 \sum_{k = 1}^{13} i + \sum_{k = 1}^{13} 9$

ステップ 3.2

$\sum_{k = 1}^{13} i^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 3.2.2

値を公式に代入します。

$\frac{13 (13 + 1) (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

ステップ 3.2.3

簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1

$13$ と $1$ をたし算します。

$\frac{13 \cdot 14 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

ステップ 3.2.3.1.2

指数をまとめます。

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ステップ 3.2.3.1.2.1

$13$ に $14$ をかけます。

$\frac{182 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

ステップ 3.2.3.1.2.2

$2$ に $13$ をかけます。

$\frac{182 (26 + 1)}{6}$

ステップ 3.2.3.1.3

$26$ と $1$ をたし算します。

$\frac{182 \cdot 27}{6}$

ステップ 3.2.3.2

式を簡約します。

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ステップ 3.2.3.2.1

$182$ に $27$ をかけます。

$\frac{4914}{6}$

ステップ 3.2.3.2.2

$4914$ を $6$ で割ります。

$819$

ステップ 3.3

$6 \sum_{k = 1}^{13} i$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 3.3.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(- 6) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

ステップ 3.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

$13$ と $1$ をたし算します。

$- 6 \frac{13 \cdot 14}{2}$

ステップ 3.3.3.1.2

$13$ に $14$ をかけます。

$- 6 (\frac{182}{2})$

ステップ 3.3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$2 (- 3) \frac{182}{2}$

ステップ 3.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 3 \frac{182}{2}$

ステップ 3.3.3.2.3

式を書き換えます。

$- 3 \cdot 182$

ステップ 3.3.3.3

$- 3$ に $182$ をかけます。

$- 546$

ステップ 3.4

$\sum_{k = 1}^{13} 9$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 3.4.2

値を公式に代入します。

$(9) (13)$

ステップ 3.4.3

$9$ に $13$ をかけます。

$117$

ステップ 3.5

合計した結果を足します。

$819 - 546 + 117$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

$819$ から $546$ を引きます。

$273 + 117$

ステップ 3.6.2

$273$ と $117$ をたし算します。

$390$

ステップ 4

$\sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$i$ の各値の級数を展開します。

$1^{2} - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ を $2$ 乗します。

$1 - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

ステップ 4.2.2

$- 6$ に $1$ をかけます。

$1 - 6 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

ステップ 4.2.3

$1$ から $6$ を引きます。

$- 5 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

ステップ 4.2.4

$- 5$ と $9$ をたし算します。

$4 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

ステップ 4.2.5

$2$ を $2$ 乗します。

$4 + 4 - 6 \cdot 2 + 9$

ステップ 4.2.6

$- 6$ に $2$ をかけます。

$4 + 4 - 12 + 9$

ステップ 4.2.7

$4$ から $12$ を引きます。

$4 - 8 + 9$

ステップ 4.2.8

$- 8$ と $9$ をたし算します。

$4 + 1$

ステップ 4.2.9

$4$ と $1$ をたし算します。

$5$

ステップ 5

総和を求めた値で置換します。

$390 - 5$

ステップ 6

$390$ から $5$ を引きます。

$385$

微分積分 例

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