微分積分例

$\sum_{j = 3}^{5} \frac{1}{j^{2} - 3}$

ステップ 1

$j$ の各値の級数を展開します。

$\frac{1}{3^{2} - 3} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\frac{1}{3^{2} - 3}$ に $\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ をかけます。

$\frac{1}{3^{2} - 3} \cdot \frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

ステップ 2.1.2

$\frac{1}{3^{2} - 3}$ に $\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ をかけます。

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{4^{2} - 3}$ に $\frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ をかけます。

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{4^{2} - 3} \cdot \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

ステップ 2.1.4

$\frac{1}{4^{2} - 3}$ に $\frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ をかけます。

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

ステップ 2.1.5

$\frac{1}{5^{2} - 3}$ に $\frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$ をかけます。

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{5^{2} - 3} \cdot \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$

ステップ 2.1.6

$\frac{1}{5^{2} - 3}$ に $\frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$ をかけます。

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

ステップ 2.1.7

$(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

ステップ 2.1.8

$(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

ステップ 2.1.9

$(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.3

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{(16 - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.3.2

$16$ から $3$ を引きます。

$\frac{13 (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.3.3

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{13 (25 - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.3.4

$25$ から $3$ を引きます。

$\frac{13 \cdot 22 + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.3.5

$13$ に $22$ をかけます。

$\frac{286 + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.3.6

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{286 + (9 - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.3.7

$9$ から $3$ を引きます。

$\frac{286 + 6 (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.3.8

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{286 + 6 (25 - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.3.9

$25$ から $3$ を引きます。

$\frac{286 + 6 \cdot 22 + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.3.10

$6$ に $22$ をかけます。

$\frac{286 + 132 + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.3.11

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{286 + 132 + (9 - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.3.12

$9$ から $3$ を引きます。

$\frac{286 + 132 + 6 (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.3.13

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{286 + 132 + 6 (16 - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.3.14

$16$ から $3$ を引きます。

$\frac{286 + 132 + 6 \cdot 13}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.3.15

$6$ に $13$ をかけます。

$\frac{286 + 132 + 78}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.4

$286$ と $132$ をたし算します。

$\frac{418 + 78}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.5

$418$ と $78$ をたし算します。

$\frac{496}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.6

分母を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{496}{(9 - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.6.2

$9$ から $3$ を引きます。

$\frac{496}{6 (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.6.3

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{496}{6 (16 - 3) (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.6.4

$16$ から $3$ を引きます。

$\frac{496}{6 \cdot 13 (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.6.5

$6$ に $13$ をかけます。

$\frac{496}{78 (5^{2} - 3)}$

ステップ 2.6.6

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{496}{78 (25 - 3)}$

ステップ 2.6.7

$25$ から $3$ を引きます。

$\frac{496}{78 \cdot 22}$

ステップ 2.7

$78$ に $22$ をかけます。

$\frac{496}{1716}$

ステップ 2.8

$496$ と $1716$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.8.1

$4$ を $496$ で因数分解します。

$\frac{4 (124)}{1716}$

ステップ 2.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.8.2.1

$4$ を $1716$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 124}{4 \cdot 429}$

ステップ 2.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 124}{4 \cdot 429}$

ステップ 2.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{124}{429}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{124}{429}$

10進法形式：

$0.\overline{289044}$

微分積分 例

微分積分例