微分積分例

$y = \sqrt{\frac{x}{x + 8}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\frac{x}{x + 8}}$ を ${(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \frac{x}{x + 8}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{x + 8}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

ステップ 4.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

ステップ 4.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{x + 8}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

ステップ 4.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

ステップ 4.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

ステップ 4.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

ステップ 4.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

ステップ 4.7

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 8) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 8]}{{(x + 8)}^{2}}$

ステップ 4.8

微分します。

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ステップ 4.8.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 8) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 8]}{{(x + 8)}^{2}}$

ステップ 4.8.2

$x + 8$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x \frac{d}{d x} [x + 8]}{{(x + 8)}^{2}}$

ステップ 4.8.3

総和則では、 $x + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(x + 8)}^{2}}$

ステップ 4.8.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x (1 + \frac{d}{d x} [8])}{{(x + 8)}^{2}}$

ステップ 4.8.5

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x (1 + 0)}{{(x + 8)}^{2}}$

ステップ 4.8.6

項を簡約します。

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ステップ 4.8.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x \cdot 1}{{(x + 8)}^{2}}$

ステップ 4.8.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x}{{(x + 8)}^{2}}$

ステップ 4.8.6.3

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 8}{{(x + 8)}^{2}}$

ステップ 4.8.6.4

$0$ と $8$ をたし算します。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{8}{{(x + 8)}^{2}}$

ステップ 4.8.6.5

$\frac{8}{{(x + 8)}^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{8}{{(x + 8)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4.8.6.6

$2$ を ${(x + 8)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{8}{2 \cdot {(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4.8.6.7

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.8.6.7.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 {(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4.8.6.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.8.6.7.2.1

$2$ を $2 {(x + 8)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 ({(x + 8)}^{2})} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4.8.6.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 {(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4.8.6.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4.9

簡約します。

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ステップ 4.9.1

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2}} {(\frac{x + 8}{x})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.9.2

積の法則を $\frac{x + 8}{x}$ に当てはめます。

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.9.3

項をまとめます。

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ステップ 4.9.3.1

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2}}$ に $\frac{{(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{4 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 8)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.9.3.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2} x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 4.9.3.3

指数を足して ${(x + 8)}^{2}$ に ${(x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.9.3.3.1

${(x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 8)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.9.3.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2} + 2} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.9.3.3.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.9.3.3.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.9.3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{{(x + 8)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.9.3.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.9.3.3.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{{(x + 8)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.9.3.3.6.2

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{4}{{(x + 8)}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.9.4

項を並べ替えます。

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{4}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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