微分積分例

$y^{2} + 2 x y = x^{3} - x^{2} + 17$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{2} + 2 x y) = \frac{d}{d x} (x^{3} - x^{2} + 17)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $y^{2} + 2 x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y' + \frac{d}{d x} [2 x y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$2 y y' + 2 \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 y y' + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y' + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 y y' + 2 (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 2.3.5

$y$ に $1$ をかけます。

$2 y y' + 2 (x y' + y)$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$2 y y' + 2 (x y') + 2 y$

ステップ 2.4.2

不要な括弧を削除します。

$2 y y' + 2 x y' + 2 y$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $x^{3} - x^{2} + 17$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [17]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [17]$

ステップ 3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [17]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [17]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [17]$

ステップ 3.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [17]$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$17$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $17$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 2 x + 0$

ステップ 3.3.2

$3 x^{2} - 2 x$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} - 2 x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' + 2 x y' + 2 y = 3 x^{2} - 2 x$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $2 y$ を引きます。

$2 y y' + 2 x y' = 3 x^{2} - 2 x - 2 y$

ステップ 5.2

$2 y'$ を $2 y y' + 2 x y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$2 y'$ を $2 y y'$ で因数分解します。

$2 y' y + 2 x y' = 3 x^{2} - 2 x - 2 y$

ステップ 5.2.2

$2 y'$ を $2 x y'$ で因数分解します。

$2 y' y + 2 y' x = 3 x^{2} - 2 x - 2 y$

ステップ 5.2.3

$2 y'$ を $2 y' y + 2 y' x$ で因数分解します。

$2 y' (y + x) = 3 x^{2} - 2 x - 2 y$

ステップ 5.3

$2 y' (y + x) = 3 x^{2} - 2 x - 2 y$ の各項を $2 (y + x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2 y' (y + x) = 3 x^{2} - 2 x - 2 y$ の各項を $2 (y + x)$ で割ります。

$\frac{2 y' (y + x)}{2 (y + x)} = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} + \frac{- 2 x}{2 (y + x)} + \frac{- 2 y}{2 (y + x)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y' (y + x)}{2 (y + x)} = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} + \frac{- 2 x}{2 (y + x)} + \frac{- 2 y}{2 (y + x)}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y + x)}{y + x} = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} + \frac{- 2 x}{2 (y + x)} + \frac{- 2 y}{2 (y + x)}$

ステップ 5.3.2.2

$y + x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y + x)}{y + x} = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} + \frac{- 2 x}{2 (y + x)} + \frac{- 2 y}{2 (y + x)}$

ステップ 5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} + \frac{- 2 x}{2 (y + x)} + \frac{- 2 y}{2 (y + x)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} + \frac{2 (- x)}{2 (y + x)} + \frac{- 2 y}{2 (y + x)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} + \frac{2 (- x)}{2 (y + x)} + \frac{- 2 y}{2 (y + x)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} + \frac{- x}{y + x} + \frac{- 2 y}{2 (y + x)}$

ステップ 5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} - \frac{x}{y + x} + \frac{- 2 y}{2 (y + x)}$

ステップ 5.3.3.1.3

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.3.1

$2$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} - \frac{x}{y + x} + \frac{2 (- y)}{2 (y + x)}$

ステップ 5.3.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} - \frac{x}{y + x} + \frac{2 (- y)}{2 (y + x)}$

ステップ 5.3.3.1.3.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} - \frac{x}{y + x} + \frac{- y}{y + x}$

ステップ 5.3.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} - \frac{x}{y + x} - \frac{y}{y + x}$

ステップ 5.3.3.2

$- \frac{x}{y + x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} - \frac{x}{y + x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{y + x}$

ステップ 5.3.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 (y + x)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

$\frac{x}{y + x}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} - \frac{x \cdot 2}{(y + x) \cdot 2} - \frac{y}{y + x}$

ステップ 5.3.3.3.2

$(y + x) \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} - \frac{x \cdot 2}{2 (y + x)} - \frac{y}{y + x}$

ステップ 5.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{3 x^{2} - x \cdot 2}{2 (y + x)} - \frac{y}{y + x}$

ステップ 5.3.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.5.1

$x$ を $3 x^{2} - x \cdot 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.1.1

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (3 x) - x \cdot 2}{2 (y + x)} - \frac{y}{y + x}$

ステップ 5.3.3.5.1.2

$x$ を $- x \cdot 2$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (3 x) + x (- 1 \cdot 2)}{2 (y + x)} - \frac{y}{y + x}$

ステップ 5.3.3.5.1.3

$x$ を $x (3 x) + x (- 1 \cdot 2)$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (3 x - 1 \cdot 2)}{2 (y + x)} - \frac{y}{y + x}$

ステップ 5.3.3.5.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y' = \frac{x (3 x - 2)}{2 (y + x)} - \frac{y}{y + x}$

ステップ 5.3.3.6

$- \frac{y}{y + x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y' = \frac{x (3 x - 2)}{2 (y + x)} - \frac{y}{y + x} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 5.3.3.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 (y + x)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.7.1

$\frac{y}{y + x}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y' = \frac{x (3 x - 2)}{2 (y + x)} - \frac{y \cdot 2}{(y + x) \cdot 2}$

ステップ 5.3.3.7.2

$(y + x) \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{x (3 x - 2)}{2 (y + x)} - \frac{y \cdot 2}{2 (y + x)}$

ステップ 5.3.3.8

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{x (3 x - 2) - y \cdot 2}{2 (y + x)}$

ステップ 5.3.3.9

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.9.1

分配則を当てはめます。

$y' = \frac{x (3 x) + x \cdot - 2 - y \cdot 2}{2 (y + x)}$

ステップ 5.3.3.9.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = \frac{3 x \cdot x + x \cdot - 2 - y \cdot 2}{2 (y + x)}$

ステップ 5.3.3.9.3

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$y' = \frac{3 x \cdot x - 2 \cdot x - y \cdot 2}{2 (y + x)}$

ステップ 5.3.3.9.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.3.3.9.4.1

$x$ を移動させます。

$y' = \frac{3 (x \cdot x) - 2 \cdot x - y \cdot 2}{2 (y + x)}$

ステップ 5.3.3.9.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 \cdot x - y \cdot 2}{2 (y + x)}$

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x - y \cdot 2}{2 (y + x)}$

ステップ 5.3.3.9.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x - 2 y}{2 (y + x)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - 2 x - 2 y}{2 (y + x)}$

微分積分 例

微分積分例