微分積分例

$y = \frac{2}{3} \ln (1 + 3 \cos^{2} (x))$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} \cdot \ln (1 + 3 \cos^{2} (x)))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{3} \cdot \ln (1 + 3 \cos^{2} (x))$ の微分係数は $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 3 \cos^{2} (x))]$ です。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 3 \cos^{2} (x))]$

ステップ 3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 + 3 \cos^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 + 3 \cos^{2} (x)$ とします。

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)])$

ステップ 3.2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{2}{3} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)])$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + 3 \cos^{2} (x)$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)])$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{(1 + 3 \cos^{2} (x)) \cdot 3} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)]$

ステップ 3.3.2

$3$ を $1 + 3 \cos^{2} (x)$ の左に移動させます。

$\frac{2}{3 \cdot (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)]$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $1 + 3 \cos^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ です。

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)])$

ステップ 3.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} (0 + \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)])$

ステップ 3.3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ をたし算します。

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$

ステップ 3.3.6

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \cos^{2} (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ です。

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} (3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

ステップ 3.3.7

項を簡約します。

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ステップ 3.3.7.1

$3$ と $\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 3.3.7.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 3.3.7.3

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.7.3.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 3.3.7.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.7.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 3.3.7.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\cos (x)$ とします。

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.5

分数をまとめます。

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ステップ 3.5.1

$2$ と $\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.5.3

$\cos (x)$ と $\frac{4}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) \cdot 4}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.5.4

$4$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot \cos (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.6

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{4 \cos (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (- \sin (x))$

ステップ 3.7

$\frac{4 \cos (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$- \frac{4 \cos (x) \sin (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{4 \cos (x) \sin (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 \cos (x) \sin (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$

微分積分 例

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