微分積分例

$y = \frac{\sin (x)}{9 x} + \frac{9 x}{\sin (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x)}{9 x} + \frac{9 x}{\sin (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $\frac{\sin (x)}{9 x} + \frac{9 x}{\sin (x)}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{9 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{9 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{9 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{\sin (x)}{9 x}$ の微分係数は $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]$ です。

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

ステップ 3.2.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

ステップ 3.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

ステップ 3.2.6

$\frac{1}{9}$ に $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{9 x}{\sin (x)}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x)}]$ です。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x)}]$

ステップ 3.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.3.4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) \cdot 1 - x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.3.5

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) - x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.3.6

$9$ と $\frac{\sin (x) - x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{9 (\sin (x) - x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{9 \sin (x) + 9 (- x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4.2

項をまとめます。

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ステップ 3.4.2.1

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{9 \sin (x) - 9 (x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4.2.2

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ を掛けます。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4.2.3

$\frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$

ステップ 3.4.2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9 x^{2} \sin^{2} (x)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.4.2.4.1

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}}$ に $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ をかけます。

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x)}{9 x^{2} \sin^{2} (x)} + \frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$

ステップ 3.4.2.4.2

$\frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ に $\frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$ をかけます。

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x)}{9 x^{2} \sin^{2} (x)} + \frac{(9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) (9 x^{2})}{\sin^{2} (x) (9 x^{2})}$

ステップ 3.4.2.4.3

$\sin^{2} (x) (9 x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x)}{9 x^{2} \sin^{2} (x)} + \frac{(9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) (9 x^{2})}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x) + (9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) (9 x^{2})}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4.2.6

$9$ を $9 \sin (x) - 9 x \cos (x)$ の左に移動させます。

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x) + 9 (9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) x^{2}}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4.3

項を並べ替えます。

$\frac{\sin^{2} (x) (x \cos (x) - \sin (x)) + 9 x^{2} (9 \sin (x) - 9 x \cos (x))}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{\sin^{2} (x) (x \cos (x) - \sin (x)) + 9 x^{2} (9 \sin (x) - 9 x \cos (x))}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin^{2} (x) (x \cos (x) - \sin (x)) + 9 x^{2} (9 \sin (x) - 9 x \cos (x))}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

微分積分 例

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