微分積分例

$y = \frac{\cos (x)}{x^{3}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (x)}{x^{3}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.2

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - \cos (x) (3 x^{2})}{x^{6}}$

ステップ 3.4.2

くくりだして簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - 3 \cos (x) x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 3.4.2.2

$x^{2}$ を $x^{3} (- \sin (x)) - 3 \cos (x) x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$x^{2}$ を $x^{3} (- \sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x))) - 3 \cos (x) x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 3.4.2.2.2

$x^{2}$ を $- 3 \cos (x) x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x))) + x^{2} (- 3 \cos (x))}{x^{6}}$

ステップ 3.4.2.2.3

$x^{2}$ を $x^{2} (x (- \sin (x))) + x^{2} (- 3 \cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x)) - 3 \cos (x))}{x^{6}}$

ステップ 3.5

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$x^{2}$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x)) - 3 \cos (x))}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x)) - 3 \cos (x))}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 3.5.3

式を書き換えます。

$\frac{x (- \sin (x)) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- x \sin (x) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

ステップ 3.6.2

$- 1$ を $- x \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x \sin (x)) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

ステップ 3.6.3

$- 1$ を $- 3 \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))}{x^{4}}$

ステップ 3.6.4

$- 1$ を $- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{- (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{x^{4}}$

ステップ 3.6.5

$- (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ を $- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{x^{4}}$

ステップ 3.6.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x \sin (x) + 3 \cos (x)}{x^{4}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{x \sin (x) + 3 \cos (x)}{x^{4}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sin (x) + 3 \cos (x)}{x^{4}}$

微分積分 例

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