微分積分例

$y = \frac{1}{x + 2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{x + 2})$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (y) = 1$ および $g (y) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 2) \cdot 0 - \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

式を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$x + 2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.3.2

$0$ から $\frac{d}{d y} [x + 2]$ を引きます。

$\frac{- \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

総和則では、 $x + 2$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]$ です。

$- \frac{\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$- \frac{x' + \frac{d}{d y} [2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.4

$2$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{x' + 0}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5

$x'$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = - \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$ として書き換えます。

$- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$

ステップ 5.2

$- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 5.2.2.2

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = - 1$

ステップ 5.3

両辺に ${(x + 2)}^{2}$ を掛けます。

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = - {(x + 2)}^{2}$

ステップ 5.4

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.1

${(x + 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = - {(x + 2)}^{2}$

ステップ 5.4.1.2

式を書き換えます。

$x' = - {(x + 2)}^{2}$

ステップ 5.5

$- {(x + 2)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.5.1

${(x + 2)}^{2}$ を $(x + 2) (x + 2)$ に書き換えます。

$x' = - ((x + 2) (x + 2))$

ステップ 5.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x + 2)$ を展開します。

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ステップ 5.5.2.1

分配則を当てはめます。

$x' = - (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

ステップ 5.5.2.2

分配則を当てはめます。

$x' = - (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

ステップ 5.5.2.3

分配則を当てはめます。

$x' = - (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

ステップ 5.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x' = - (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

ステップ 5.5.3.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$x' = - (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

ステップ 5.5.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$x' = - (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

ステップ 5.5.3.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$x' = - (x^{2} + 4 x + 4)$

ステップ 5.5.4

分配則を当てはめます。

$x' = - x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 4$

ステップ 5.5.5

簡約します。

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ステップ 5.5.5.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$x' = - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4$

ステップ 5.5.5.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$x' = - x^{2} - 4 x - 4$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = - x^{2} - 4 x - 4$

微分積分 例

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