微分積分例

$\sum_{k = 1}^{3} \frac{1}{k^{2} + 4}$

ステップ 1

$k$ の各値の級数を展開します。

$\frac{1}{1^{2} + 4} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\frac{1}{1^{2} + 4}$ に $\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ をかけます。

$\frac{1}{1^{2} + 4} \cdot \frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

ステップ 2.1.2

$\frac{1}{1^{2} + 4}$ に $\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ をかけます。

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{2^{2} + 4}$ に $\frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ をかけます。

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{2^{2} + 4} \cdot \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

ステップ 2.1.4

$\frac{1}{2^{2} + 4}$ に $\frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ をかけます。

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

ステップ 2.1.5

$\frac{1}{3^{2} + 4}$ に $\frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$ をかけます。

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{3^{2} + 4} \cdot \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$

ステップ 2.1.6

$\frac{1}{3^{2} + 4}$ に $\frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$ をかけます。

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

ステップ 2.1.7

$(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

ステップ 2.1.8

$(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

ステップ 2.1.9

$(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{(4 + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.3.2

$4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{8 (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.3.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{8 (9 + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.3.4

$9$ と $4$ をたし算します。

$\frac{8 \cdot 13 + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.3.5

$8$ に $13$ をかけます。

$\frac{104 + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.3.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{104 + (1 + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.3.7

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{104 + 5 (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.3.8

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{104 + 5 (9 + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.3.9

$9$ と $4$ をたし算します。

$\frac{104 + 5 \cdot 13 + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.3.10

$5$ に $13$ をかけます。

$\frac{104 + 65 + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.3.11

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{104 + 65 + (1 + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.3.12

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{104 + 65 + 5 (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.3.13

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{104 + 65 + 5 (4 + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.3.14

$4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{104 + 65 + 5 \cdot 8}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.3.15

$5$ に $8$ をかけます。

$\frac{104 + 65 + 40}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.4

$104$ と $65$ をたし算します。

$\frac{169 + 40}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.5

$169$ と $40$ をたし算します。

$\frac{209}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.6

分母を簡約します。

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ステップ 2.6.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{209}{(1 + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.6.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{209}{5 (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.6.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{209}{5 (4 + 4) (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.6.4

$4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{209}{5 \cdot 8 (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.6.5

$5$ に $8$ をかけます。

$\frac{209}{40 (3^{2} + 4)}$

ステップ 2.6.6

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{209}{40 (9 + 4)}$

ステップ 2.6.7

$9$ と $4$ をたし算します。

$\frac{209}{40 \cdot 13}$

ステップ 2.7

$40$ に $13$ をかけます。

$\frac{209}{520}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{209}{520}$

10進法形式：

$0.40192307 \dots$

微分積分 例

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