微分積分例

$\sum_{k = 5}^{20} k^{3}$

ステップ 1

総和を分割し、 $k$ の始めの値が $1$ に等しくなるようにします。

$\sum_{k = 5}^{20} k^{3} = \sum_{k = 1}^{20} k^{3} - \sum_{k = 1}^{4} k^{3}$

ステップ 2

$\sum_{k = 1}^{20} k^{3}$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

次数 $3$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

ステップ 2.2

値を公式に代入します。

$\frac{20^{2} {(20 + 1)}^{2}}{4}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$20$ と $1$ をたし算します。

$\frac{20^{2} \cdot 21^{2}}{4}$

ステップ 2.3.1.2

$20$ を $2$ 乗します。

$\frac{400 \cdot 21^{2}}{4}$

ステップ 2.3.1.3

$21$ を $2$ 乗します。

$\frac{400 \cdot 441}{4}$

ステップ 2.3.2

式を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$400$ に $441$ をかけます。

$\frac{176400}{4}$

ステップ 2.3.2.2

$176400$ を $4$ で割ります。

$44100$

ステップ 3

$\sum_{k = 1}^{4} k^{3}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$k$ の各値の級数を展開します。

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$1$ を $3$ 乗します。

$1 + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3}$

ステップ 3.2.2

$2$ を $3$ 乗します。

$1 + 8 + 3^{3} + 4^{3}$

ステップ 3.2.3

$1$ と $8$ をたし算します。

$9 + 3^{3} + 4^{3}$

ステップ 3.2.4

$3$ を $3$ 乗します。

$9 + 27 + 4^{3}$

ステップ 3.2.5

$9$ と $27$ をたし算します。

$36 + 4^{3}$

ステップ 3.2.6

$4$ を $3$ 乗します。

$36 + 64$

ステップ 3.2.7

$36$ と $64$ をたし算します。

$100$

ステップ 4

総和を求めた値で置換します。

$44100 - 100$

ステップ 5

$44100$ から $100$ を引きます。

$44000$

微分積分 例

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