微分積分例

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 4)}^{n - 1}}{8^{n}}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、無限等比級数の和は公式 $\frac{a}{1 - r}$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$a_{n}$ と $a_{n + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{\frac{{(- 4)}^{n + 1 - 1}}{8^{n + 1}}}{\frac{{(- 4)}^{n - 1}}{8^{n}}}$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 1 - 1}}{8^{n + 1}} \cdot \frac{8^{n}}{{(- 4)}^{n - 1}}$

ステップ 2.2.2

まとめる。

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 1 - 1} \cdot 8^{n}}{8^{n + 1} {(- 4)}^{n - 1}}$

ステップ 2.2.3

${(- 4)}^{n + 1 - 1}$ と ${(- 4)}^{n - 1}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

${(- 4)}^{n - 1}$ を ${(- 4)}^{n + 1 - 1} \cdot 8^{n}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(- 4)}^{n - 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{8^{n + 1} {(- 4)}^{n - 1}}$

ステップ 2.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

${(- 4)}^{n - 1}$ を $8^{n + 1} {(- 4)}^{n - 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(- 4)}^{n - 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{{(- 4)}^{n - 1} \cdot 8^{n + 1}}$

ステップ 2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(- 4)}^{n - 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{{(- 4)}^{n - 1} \cdot 8^{n + 1}}$

ステップ 2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n}}{8^{n + 1}}$

ステップ 2.2.4

$8^{n}$ と $8^{n + 1}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$8^{n + 1}$ を ${(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n}$ で因数分解します。

$r = \frac{8^{n + 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1}}$

ステップ 2.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{8^{n + 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{8^{n + 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.4.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}}{1}$

ステップ 2.2.4.2.4

${(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = {(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

ステップ 2.2.5

$n$ と $0$ をたし算します。

$r = {(- 4)}^{n - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

ステップ 2.2.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

分配則を当てはめます。

$r = {(- 4)}^{n - n - - 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

ステップ 2.2.6.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r = {(- 4)}^{n - n + 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

ステップ 2.2.7

$n$ から $n$ を引きます。

$r = {(- 4)}^{0 + 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

ステップ 2.2.8

$0$ と $1$ をたし算します。

$r = {(- 4)}^{1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

ステップ 2.2.9

指数を求めます。

$r = - 4 \cdot 8^{n - (n + 1)}$

ステップ 2.2.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.1

分配則を当てはめます。

$r = - 4 \cdot 8^{n - n - 1 \cdot 1}$

ステップ 2.2.10.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$r = - 4 \cdot 8^{n - n - 1}$

ステップ 2.2.11

$n$ から $n$ を引きます。

$r = - 4 \cdot 8^{0 - 1}$

ステップ 2.2.12

$0$ から $1$ を引きます。

$r = - 4 \cdot 8^{- 1}$

ステップ 2.2.13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$r = - 4 \cdot \frac{1}{8}$

ステップ 2.2.14

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.14.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$r = 4 (- 1) \cdot \frac{1}{8}$

ステップ 2.2.14.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$r = 4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

ステップ 2.2.14.3

共通因数を約分します。

$r = 4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

ステップ 2.2.14.4

式を書き換えます。

$r = - 1 \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 2.2.15

$- 1 (\frac{1}{2})$ を $- (\frac{1}{2})$ に書き換えます。

$r = - \frac{1}{2}$

ステップ 3

$| r | < 1$ なので、級数は収束します。

ステップ 4

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$n$ の $1$ を $\frac{{(- 4)}^{n - 1}}{8^{n}}$ に代入します。

$a = \frac{{(- 4)}^{1 - 1}}{8^{1}}$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$1$ から $1$ を引きます。

$a = \frac{{(- 4)}^{0}}{8^{1}}$

ステップ 4.2.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = \frac{1}{8^{1}}$

ステップ 4.2.2

指数を求めます。

$a = \frac{1}{8}$

ステップ 5

比と第1項の値を和の公式に代入します。

$\frac{\frac{1}{8}}{1 - - \frac{1}{2}}$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 - - \frac{1}{2}}$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$- - \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

ステップ 6.2.1.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 1}{2}}$

ステップ 6.2.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{8} (1 (\frac{2}{3}))$

ステップ 6.4

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3}$

ステップ 6.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{2}{3}$

ステップ 6.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2}{3}$

ステップ 6.5.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 6.6

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

ステップ 6.7

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{12}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{12}$

10進法形式：

$0.08\overline{3}$

微分積分 例

微分積分例