微分積分例

$\sum_{n = 1}^{4} n^{- 2} (12)$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{n^{2}} \cdot 12$

ステップ 1.2

$\frac{1}{n^{2}}$ と $12$ をまとめます。

$\frac{12}{n^{2}}$

ステップ 1.3

総和を書き換えます。

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{12}{n^{2}}$

ステップ 2

$n$ の各値の級数を展開します。

$\frac{12}{1^{2}} + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{12}{1} + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

ステップ 3.1.2

$12$ を $1$ で割ります。

$12 + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

ステップ 3.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$12 + \frac{12}{4} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

ステップ 3.1.4

$12$ を $4$ で割ります。

$12 + 3 + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

ステップ 3.1.5

$3$ を $2$ 乗します。

$12 + 3 + \frac{12}{9} + \frac{12}{4^{2}}$

ステップ 3.1.6

$12$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.6.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$12 + 3 + \frac{3 (4)}{9} + \frac{12}{4^{2}}$

ステップ 3.1.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.6.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$12 + 3 + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{12}{4^{2}}$

ステップ 3.1.6.2.2

共通因数を約分します。

$12 + 3 + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{12}{4^{2}}$

ステップ 3.1.6.2.3

式を書き換えます。

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{12}{4^{2}}$

ステップ 3.1.7

$4$ を $2$ 乗します。

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{12}{16}$

ステップ 3.1.8

$12$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.8.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 (3)}{16}$

ステップ 3.1.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.8.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

ステップ 3.1.8.2.2

共通因数を約分します。

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

ステップ 3.1.8.2.3

式を書き換えます。

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

ステップ 3.2

公分母を求めます。

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ステップ 3.2.1

$12$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{12}{1} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

ステップ 3.2.2

$\frac{12}{1}$ に $\frac{12}{12}$ をかけます。

$\frac{12}{1} \cdot \frac{12}{12} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

ステップ 3.2.3

$\frac{12}{1}$ に $\frac{12}{12}$ をかけます。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

ステップ 3.2.4

$3$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3}{1} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

ステップ 3.2.5

$\frac{3}{1}$ に $\frac{12}{12}$ をかけます。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3}{1} \cdot \frac{12}{12} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

ステップ 3.2.6

$\frac{3}{1}$ に $\frac{12}{12}$ をかけます。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

ステップ 3.2.7

$\frac{4}{3}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

ステップ 3.2.8

$\frac{4}{3}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3}{4}$

ステップ 3.2.9

$\frac{3}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 3.2.10

$\frac{3}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

ステップ 3.2.11

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

ステップ 3.2.12

$4 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

ステップ 3.2.13

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12}$

ステップ 3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{12 \cdot 12 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

ステップ 3.4

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$12$ に $12$ をかけます。

$\frac{144 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

ステップ 3.4.2

$3$ に $12$ をかけます。

$\frac{144 + 36 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

ステップ 3.4.3

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{144 + 36 + 16 + 3 \cdot 3}{12}$

ステップ 3.4.4

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{144 + 36 + 16 + 9}{12}$

ステップ 3.5

$144$ と $36$ をたし算します。

$\frac{180 + 16 + 9}{12}$

ステップ 3.6

$180$ と $16$ をたし算します。

$\frac{196 + 9}{12}$

ステップ 3.7

$196$ と $9$ をたし算します。

$\frac{205}{12}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{205}{12}$

10進法形式：

$17.08\overline{3}$

帯分数形：

$17 \frac{1}{12}$

微分積分 例

微分積分例