微分積分例

$(45 + e^{t}) \ln (t)$

ステップ 1

$f (t) = 45 + e^{t}$ および $g (t) = \ln (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(45 + e^{t}) \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [45 + e^{t}]$

ステップ 2

$t$ に関する $\ln (t)$ の微分係数は $\frac{1}{t}$ です。

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [45 + e^{t}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $45 + e^{t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [45] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ です。

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) (\frac{d}{d t} [45] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 3.2

$45$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $45$ の微分係数は $0$ です。

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) (0 + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d t} [e^{t}]$ をたし算します。

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

ステップ 4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) e^{t}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$45 \frac{1}{t} + e^{t} \frac{1}{t} + \ln (t) e^{t}$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$45$ と $\frac{1}{t}$ をまとめます。

$\frac{45}{t} + e^{t} \frac{1}{t} + \ln (t) e^{t}$

ステップ 5.2.2

$e^{t}$ と $\frac{1}{t}$ をまとめます。

$\frac{45}{t} + \frac{e^{t}}{t} + \ln (t) e^{t}$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$e^{t} \ln (t) + \frac{45}{t} + \frac{e^{t}}{t}$

微分積分 例

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