微分積分例

$h (z) = (7 - z^{2}) (z^{3} - z + 5)$

ステップ 1

$f (z) = 7 - z^{2}$ および $g (z) = z^{3} - z + 5$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ は $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(7 - z^{2}) \frac{d}{d z} [z^{3} - z + 5] + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $z^{3} - z + 5$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [5]$ です。

$(7 - z^{2}) (\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [5]) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [5]) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d z} [- z]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 1$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $- z$ の微分係数は $- \frac{d}{d z} [z]$ です。

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [5]) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [5]) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

ステップ 3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1 + \frac{d}{d z} [5]) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$5$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1 + 0) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

ステップ 4.2

$3 z^{2} - 1$ と $0$ をたし算します。

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

ステップ 4.3

総和則では、 $7 - z^{2}$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [7] + \frac{d}{d z} [- z^{2}]$ です。

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) (\frac{d}{d z} [7] + \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

ステップ 4.4

$7$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) (0 + \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

ステップ 5

$\frac{d}{d z} [- z^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $- z^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d z} [z^{2}]$ です。

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) (0 - \frac{d}{d z} [z^{2}])$

ステップ 5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) (0 - (2 z))$

ステップ 5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) (0 - 2 z)$

ステップ 6

$0$ から $2 z$ を引きます。

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) (- 2 z)$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$(7 - z^{2}) (3 z^{2}) + (7 - z^{2}) \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$7 (3 z^{2}) - z^{2} (3 z^{2}) + (7 - z^{2}) \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.4

分配則を当てはめます。

$7 (3 z^{2}) - z^{2} (3 z^{2}) + 7 \cdot - 1 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$3$ に $7$ をかけます。

$21 z^{2} - z^{2} (3 z^{2}) + 7 \cdot - 1 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$21 z^{2} - 3 z^{2} z^{2} + 7 \cdot - 1 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5.3

指数を足して $z^{2}$ に $z^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.1

$z^{2}$ を移動させます。

$21 z^{2} - 3 (z^{2} z^{2}) + 7 \cdot - 1 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$21 z^{2} - 3 z^{2 + 2} + 7 \cdot - 1 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5.3.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$21 z^{2} - 3 z^{4} + 7 \cdot - 1 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5.4

$7$ に $- 1$ をかけます。

$21 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$21 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + 1 z^{2} + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5.6

$z^{2}$ に $1$ をかけます。

$21 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + z^{2} + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5.7

$21 z^{2}$ と $z^{2}$ をたし算します。

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5.8

指数を足して $z^{3}$ に $z$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.8.1

$z$ を移動させます。

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + z \cdot z^{3} \cdot - 2 - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5.8.2

$z$ に $z^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.8.2.1

$z$ を $1$ 乗します。

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + z^{1} z^{3} \cdot - 2 - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + z^{1 + 3} \cdot - 2 - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5.8.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + z^{4} \cdot - 2 - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5.9

$- 2$ を $z^{4}$ の左に移動させます。

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 \cdot z^{4} - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5.10

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 z^{4} + 2 z \cdot z + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5.11

$z$ を $1$ 乗します。

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 z^{4} + 2 (z^{1} z) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5.12

$z$ を $1$ 乗します。

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 z^{4} + 2 (z^{1} z^{1}) + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 z^{4} + 2 z^{1 + 1} + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 z^{4} + 2 z^{2} + 5 (- 2 z)$

ステップ 7.5.15

$- 2$ に $5$ をかけます。

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 z^{4} + 2 z^{2} - 10 z$

ステップ 7.5.16

$- 3 z^{4}$ から $2 z^{4}$ を引きます。

$22 z^{2} - 5 z^{4} - 7 + 2 z^{2} - 10 z$

ステップ 7.5.17

$22 z^{2}$ と $2 z^{2}$ をたし算します。

$24 z^{2} - 5 z^{4} - 7 - 10 z$

ステップ 7.6

項を並べ替えます。

$- 5 z^{4} + 24 z^{2} - 10 z - 7$

微分積分 例

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