微分積分例

$f (x) = (x - 3) (x^{2} - 6 x - 18)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x - 3$ および $g (x) = x^{2} - 6 x - 18$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 18) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 6 x - 18$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ です。

$f' (x) = (x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

ステップ 1.1.2.3

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

ステップ 1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

ステップ 1.1.2.5

$- 6$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

ステップ 1.1.2.6

$- 18$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 18$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

ステップ 1.1.2.7

$2 x - 6$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

ステップ 1.1.2.8

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

ステップ 1.1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

ステップ 1.1.2.10

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) (1 + 0)$

ステップ 1.1.2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) \cdot 1$

ステップ 1.1.2.11.2

$x^{2} - 6 x - 18$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + x^{2} - 6 x - 18$

ステップ 1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

ステップ 1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

ステップ 1.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

ステップ 1.1.3.4

項をまとめます。

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ステップ 1.1.3.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

ステップ 1.1.3.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

ステップ 1.1.3.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

ステップ 1.1.3.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

ステップ 1.1.3.4.5

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 x + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

ステップ 1.1.3.4.6

$- 6$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 x - 6 \cdot x - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

ステップ 1.1.3.4.7

$- 3$ に $- 6$ をかけます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 x - 6 x + 18 + x^{2} - 6 x - 18$

ステップ 1.1.3.4.8

$- 6 x$ から $6 x$ を引きます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x + 18 + x^{2} - 6 x - 18$

ステップ 1.1.3.4.9

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 18 - 6 x - 18$

ステップ 1.1.3.4.10

$- 12 x$ から $6 x$ を引きます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 18 - 18$

ステップ 1.1.3.4.11

$18$ から $18$ を引きます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 0$

ステップ 1.1.3.4.12

$3 x^{2} - 18 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 18 x$ です。

$3 x^{2} - 18 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 18 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 18 x = 0$

ステップ 2.2

$3 x$ を $3 x^{2} - 18 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$3 x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 x (x) - 18 x = 0$

ステップ 2.2.2

$3 x$ を $- 18 x$ で因数分解します。

$3 x (x) + 3 x (- 6) = 0$

ステップ 2.2.3

$3 x$ を $3 x (x) + 3 x (- 6)$ で因数分解します。

$3 x (x - 6) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 6 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 2.6

最終解は $3 x (x - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 6$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, 6$ です。

$0, 6$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} - 18 \cdot - 1$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = 3 \cdot 1 - 18 \cdot - 1$

ステップ 5.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = 3 - 18 \cdot - 1$

ステップ 5.2.1.3

$- 18$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = 3 + 18$

ステップ 5.2.2

$3$ と $18$ をたし算します。

$f' (- 1) = 21$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $21$ です。

$21$

ステップ 5.3

$x = - 1$ で微分係数は $21$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 6

区間 $(0, 6)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

指数を足して $3$ に ${(3)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1.1.1

$3$ に ${(3)}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3$

ステップ 6.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (3) = 3^{1 + 2} - 18 \cdot 3$

ステップ 6.2.1.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (3) = 3^{3} - 18 \cdot 3$

ステップ 6.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f' (3) = 27 - 18 \cdot 3$

ステップ 6.2.1.3

$- 18$ に $3$ をかけます。

$f' (3) = 27 - 54$

ステップ 6.2.2

$27$ から $54$ を引きます。

$f' (3) = - 27$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 27$ です。

$- 27$

ステップ 6.3

$x = 3$ で微分係数は $- 27$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 6)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 6)$ で減少

ステップ 7

区間 $(6, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $7$ で置換えます。

$f' (7) = 3 {(7)}^{2} - 18 \cdot 7$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$f' (7) = 3 \cdot 49 - 18 \cdot 7$

ステップ 7.2.1.2

$3$ に $49$ をかけます。

$f' (7) = 147 - 18 \cdot 7$

ステップ 7.2.1.3

$- 18$ に $7$ をかけます。

$f' (7) = 147 - 126$

ステップ 7.2.2

$147$ から $126$ を引きます。

$f' (7) = 21$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $21$ です。

$21$

ステップ 7.3

$x = 7$ で微分係数は $21$ です。これは正の値なので、関数は $(6, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(6, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 0), (6, \infty)$ で増加

$(0, 6)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

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