微分積分例

$f (x) = \frac{x - 5}{x + 7}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x - 5$ および $g (x) = x + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x + 7) \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f' (x) = \frac{(x + 7) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x + 7) (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{(x + 7) (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{(x + 7) \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$x + 7$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x + 7 - (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

総和則では、 $x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$f' (x) = \frac{x + 7 - (x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (7))}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x + 7 - (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (7))}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x + 7 - (x - 5) (1 + 0)}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x + 7 - (x - 5) \cdot 1}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x + 7 - (x - 5)}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{x + 7 - x + 5}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

$x + 7 - x - - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.3.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$f' (x) = \frac{0 + 7 + 5}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.2

$0$ と $7$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{7 + 5}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.2

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$f' (x) = \frac{7 + 5}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.3

$7$ と $5$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{12}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{12}{{(x + 7)}^{2}}$ です。

$\frac{12}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{12}{{(x + 7)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{12}{{(x + 7)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$12 = 0$

ステップ 2.3

$12 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{12}{{(x + 7)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 7)}^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

$x + 7$ が $0$ に等しいとします。

$x + 7 = 0$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$x = - 7$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = \frac{12}{{(x + 7)}^{2}}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = \frac{x - 5}{x + 7}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, - 7) \cup (- 7, \infty)$ です。

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 7)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 8$ で置換えます。

$f' (- 8) = \frac{12}{{((- 8) + 7)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 8$ と $7$ をたし算します。

$f' (- 8) = \frac{12}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 8) = \frac{12}{1}$

ステップ 6.2.2

$12$ を $1$ で割ります。

$f' (- 8) = 12$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $12$ です。

$12$

ステップ 6.3

$x = - 8$ で微分係数は $12$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - 7)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 7)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 7, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f' (- 6) = \frac{12}{{((- 6) + 7)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$- 6$ と $7$ をたし算します。

$f' (- 6) = \frac{12}{1^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (- 6) = \frac{12}{1}$

ステップ 7.2.2

$12$ を $1$ で割ります。

$f' (- 6) = 12$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $12$ です。

$12$

ステップ 7.3

$x = - 6$ で微分係数は $12$ です。これは正の値なので、関数は $(- 7, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 7, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 7), (- 7, \infty)$ で増加

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例