微分積分例

$f (x) = \frac{4 x^{2}}{x - 3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x^{2}}{x - 3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 3}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{(x - 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$2$ を $x - 3$ の左に移動させます。

$4 \frac{2 \cdot (x - 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6.3

$4$ と $\frac{2 (x - 3) x - x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4 (2 (x - 3) x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 ((2 x + 2 \cdot - 3) x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (2 x \cdot x) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 (2 (x \cdot x)) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.4.1.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.4.1.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 4 (- 6 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.4.1.4

$- 6$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - 24 x + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.4.1.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - 24 x - 4 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.4.2

$8 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$\frac{4 x^{2} - 24 x}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.5

$4 x$ を $4 x^{2} - 24 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.5.1

$4 x$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 x (x) - 24 x}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.5.2

$4 x$ を $- 24 x$ で因数分解します。

$\frac{4 x (x) + 4 x (- 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.5.3

$4 x$ を $4 x (x) + 4 x (- 6)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$ です。

$\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$4 x (x - 6) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 6 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.3.3

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 2.3.3.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 2.3.4

最終解は $4 x (x - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 6$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, 6$ です。

$0, 6$

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1) ((- 1) - 6)}{{((- 1) - 3)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{{(- 1 - 3)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 1$ から $3$ を引きます。

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{{(- 4)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{16}$

ステップ 6.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$- 1$ から $6$ を引きます。

$f' (- 1) = \frac{- 4 \cdot - 7}{16}$

ステップ 6.2.3.2

$- 4$ に $- 7$ をかけます。

$f' (- 1) = \frac{28}{16}$

ステップ 6.2.3.3

$28$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.3.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$f' (- 1) = \frac{4 (7)}{16}$

ステップ 6.2.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.3.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.3.2.3

式を書き換えます。

$f' (- 1) = \frac{7}{4}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $\frac{7}{4}$ です。

$\frac{7}{4}$

ステップ 6.3

$x = - 1$ で微分係数は $\frac{7}{4}$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $\frac{3}{2}$ で置換えます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{4 (\frac{3}{2}) ((\frac{3}{2}) - 6)}{{((\frac{3}{2}) - 3)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$4$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$- 3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

ステップ 7.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

ステップ 7.2.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.4.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3 - 6}{2})}^{2}}$

ステップ 7.2.2.4.2

$3$ から $6$ を引きます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

ステップ 7.2.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

ステップ 7.2.2.6

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

ステップ 7.2.2.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

ステップ 7.2.2.8

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 7.2.2.9

$3$ を $2$ 乗します。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

ステップ 7.2.2.10

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{9}{4})}$

ステップ 7.2.2.11

$\frac{9}{4}$ に $1$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

ステップ 7.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{12}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

ステップ 7.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

$12$ を $2$ で割ります。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

ステップ 7.2.4.2

$- 6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}{\frac{9}{4}}$

ステップ 7.2.4.3

$- 6$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

ステップ 7.2.4.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3 - 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

ステップ 7.2.4.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.5.1

$- 6$ に $2$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3 - 12}{2})}{\frac{9}{4}}$

ステップ 7.2.4.5.2

$3$ から $12$ を引きます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{- 9}{2})}{\frac{9}{4}}$

ステップ 7.2.4.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 \cdot (- 1 (\frac{9}{2}))}{\frac{9}{4}}$

ステップ 7.2.4.7

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.7.1

負をくくり出します。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- (6 (\frac{9}{2}))}{\frac{9}{4}}$

ステップ 7.2.4.7.2

$6$ と $\frac{9}{2}$ をまとめます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{6 \cdot 9}{2}}{\frac{9}{4}}$

ステップ 7.2.4.7.3

$6$ に $9$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{54}{2}}{\frac{9}{4}}$

ステップ 7.2.4.8

$54$ を $2$ で割ります。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1 \cdot 27}{\frac{9}{4}}$

ステップ 7.2.5

$- 1$ に $27$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{\frac{9}{4}}$

ステップ 7.2.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$f' (\frac{3}{2}) = - 27 (\frac{4}{9})$

ステップ 7.2.7

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.7.1

$9$ を $- 27$ で因数分解します。

$f' (\frac{3}{2}) = 9 (- 3) (\frac{4}{9})$

ステップ 7.2.7.2

共通因数を約分します。

$f' (\frac{3}{2}) = 9 \cdot (- 3 (\frac{4}{9}))$

ステップ 7.2.7.3

式を書き換えます。

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \cdot 4$

ステップ 7.2.8

$- 3$ に $4$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = - 12$

ステップ 7.2.9

最終的な答えは $- 12$ です。

$- 12$

ステップ 7.3

$x = \frac{3}{2}$ で微分係数は $- 12$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 3)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 3)$ で減少

ステップ 8

区間 $(3, 6)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $\frac{9}{2}$ で置換えます。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{4 (\frac{9}{2}) ((\frac{9}{2}) - 6)}{{((\frac{9}{2}) - 3)}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$4$ と $\frac{9}{2}$ をまとめます。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} - 3)}^{2}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

ステップ 8.2.2.2

$- 3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

ステップ 8.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

ステップ 8.2.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.4.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9 - 6}{2})}^{2}}$

ステップ 8.2.2.4.2

$9$ から $6$ を引きます。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

ステップ 8.2.2.5

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{3^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 8.2.2.6

$3$ を $2$ 乗します。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{2^{2}}}$

ステップ 8.2.2.7

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

ステップ 8.2.3

$4$ に $9$ をかけます。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{36}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

ステップ 8.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.4.1

$36$ を $2$ で割ります。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

ステップ 8.2.4.2

$- 6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}{\frac{9}{4}}$

ステップ 8.2.4.3

$- 6$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

ステップ 8.2.4.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9 - 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

ステップ 8.2.4.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.4.5.1

$- 6$ に $2$ をかけます。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9 - 12}{2})}{\frac{9}{4}}$

ステップ 8.2.4.5.2

$9$ から $12$ を引きます。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{- 3}{2})}{\frac{9}{4}}$

ステップ 8.2.4.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 \cdot (- 1 (\frac{3}{2}))}{\frac{9}{4}}$

ステップ 8.2.4.7

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.4.7.1

負をくくり出します。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- (18 (\frac{3}{2}))}{\frac{9}{4}}$

ステップ 8.2.4.7.2

$18$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- \frac{18 \cdot 3}{2}}{\frac{9}{4}}$

ステップ 8.2.4.7.3

$18$ に $3$ をかけます。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- \frac{54}{2}}{\frac{9}{4}}$

ステップ 8.2.4.8

$54$ を $2$ で割ります。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 1 \cdot 27}{\frac{9}{4}}$

ステップ 8.2.5

$- 1$ に $27$ をかけます。

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 27}{\frac{9}{4}}$

ステップ 8.2.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$f' (\frac{9}{2}) = - 27 (\frac{4}{9})$

ステップ 8.2.7

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.7.1

$9$ を $- 27$ で因数分解します。

$f' (\frac{9}{2}) = 9 (- 3) (\frac{4}{9})$

ステップ 8.2.7.2

共通因数を約分します。

$f' (\frac{9}{2}) = 9 \cdot (- 3 (\frac{4}{9}))$

ステップ 8.2.7.3

式を書き換えます。

$f' (\frac{9}{2}) = - 3 \cdot 4$

ステップ 8.2.8

$- 3$ に $4$ をかけます。

$f' (\frac{9}{2}) = - 12$

ステップ 8.2.9

最終的な答えは $- 12$ です。

$- 12$

ステップ 8.3

$x = \frac{9}{2}$ で微分係数は $- 12$ です。これは負の値なので、関数は $(3, 6)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(3, 6)$ で減少

ステップ 9

区間 $(6, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $7$ で置換えます。

$f' (7) = \frac{4 (7) ((7) - 6)}{{((7) - 3)}^{2}}$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$4$ に $7$ をかけます。

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{{(7 - 3)}^{2}}$

ステップ 9.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$7$ から $3$ を引きます。

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{4^{2}}$

ステップ 9.2.2.2

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{16}$

ステップ 9.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 9.2.3.1

$7$ から $6$ を引きます。

$f' (7) = \frac{28 \cdot 1}{16}$

ステップ 9.2.3.2

$28$ に $1$ をかけます。

$f' (7) = \frac{28}{16}$

ステップ 9.2.3.3

$28$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.3.3.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$f' (7) = \frac{4 (7)}{16}$

ステップ 9.2.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.3.3.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$f' (7) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

ステップ 9.2.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$f' (7) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

ステップ 9.2.3.3.2.3

式を書き換えます。

$f' (7) = \frac{7}{4}$

ステップ 9.2.4

最終的な答えは $\frac{7}{4}$ です。

$\frac{7}{4}$

ステップ 9.3

$x = 7$ で微分係数は $\frac{7}{4}$ です。これは正の値なので、関数は $(6, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(6, \infty)$ で増加

ステップ 10

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 0), (6, \infty)$ で増加

$(0, 3), (3, 6)$ で減少

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例