微分積分例

$f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 + e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}]}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}]}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $3 + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ をたし算します。

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.5

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 1.5.1

$e^{x}$ を移動させます。

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.5.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.6.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.2.1

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.2.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.6.2.1.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.6.2.2

$3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.6.2.2.1

$e^{2 x}$ から $e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{3 e^{x} + 0}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.6.2.2.2

$3 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}})$

ステップ 2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = {(3 + e^{x})}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{({(3 + e^{x})}^{2})}^{2}})$

ステップ 2.3

${({(3 + e^{x})}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{(3 + e^{x})}^{2 \cdot 2}})$

ステップ 2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

ステップ 2.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

ステップ 2.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 3 + e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 + e^{x}$ とします。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

ステップ 2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

ステップ 2.5.3

$u$ のすべての発生を $3 + e^{x}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

ステップ 2.6

微分します。

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ステップ 2.6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

ステップ 2.6.2

総和則では、 $3 + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (e^{x})))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

ステップ 2.6.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} (e^{x})))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

ステップ 2.6.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ をたし算します。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

ステップ 2.7

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

ステップ 2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

ステップ 2.9

$x$ と $x$ をたし算します。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

ステップ 2.10

$3 + e^{x}$ を ${(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (3 + e^{x})$ で因数分解します。

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ステップ 2.10.1

$3 + e^{x}$ を ${(3 + e^{x})}^{2} e^{x}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

ステップ 2.10.2

$3 + e^{x}$ を $- 2 e^{2 x} (3 + e^{x})$ で因数分解します。

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x}) + (3 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

ステップ 2.10.3

$3 + e^{x}$ を $(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x}) + (3 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ で因数分解します。

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

ステップ 2.11

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$3 + e^{x}$ を ${(3 + e^{x})}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(3 + e^{x}) {(3 + e^{x})}^{3}})$

ステップ 2.11.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(3 + e^{x}) {(3 + e^{x})}^{3}})$

ステップ 2.11.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}})$

ステップ 2.12

$3$ と $\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{3 ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.13

簡約します。

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ステップ 2.13.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.13.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x}) + 3 (e^{x} e^{x}) + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.13.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.13.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.3.1.1

$3$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 (e^{x} e^{x}) + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.13.3.1.2

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 2.13.3.1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 e^{x + x} + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.13.3.1.2.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 e^{2 x} + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.13.3.1.3

$- 2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 e^{2 x} - 6 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.13.3.2

$3 e^{2 x}$ から $6 e^{2 x}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} - 3 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.13.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.13.4.1

$3$ を $9 e^{x} - 3 e^{2 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.4.1.1

$3$ を $9 e^{x}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x}) - 3 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.13.4.1.2

$3$ を $- 3 e^{2 x}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x}) + 3 (- e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.13.4.1.3

$3$ を $3 (3 e^{x}) + 3 (- e^{2 x})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x} - e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.13.4.2

$e^{2 x}$ を ${(e^{x})}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.13.4.3

$u = e^{x}$ とします。 $u$ を $e^{x}$ に代入します。

$f'' (x) = \frac{3 (3 u - u^{2})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.13.4.4

$u$ を $3 u - u^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.4.4.1

$u$ を $3 u$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (u \cdot 3 - u^{2})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.13.4.4.2

$u$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (u \cdot 3 + u (- u))}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.13.4.4.3

$u$ を $u \cdot 3 + u (- u)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (u (3 - u))}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.13.4.5

$u$ のすべての発生を $e^{x}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (3 - e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 5

極値がありません

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例