微分積分例

$\frac{9 x^{2} + 25}{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = 9 x^{2} + 25$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 25] - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $9 x^{2} + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{x (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{x (18 x + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (18 x + 0) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

$18 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x (18 x) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{18 (x^{1} x) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{18 (x^{1} x^{1}) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{18 x^{1 + 1} - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2} + 25)}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2}) - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.2.1.1

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{18 x^{2} - 9 x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9.2.1.2

$- 1$ に $25$ をかけます。

$\frac{18 x^{2} - 9 x^{2} - 25}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9.2.2

$18 x^{2}$ から $9 x^{2}$ を引きます。

$\frac{9 x^{2} - 25}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.3.1

$9 x^{2}$ を ${(3 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(3 x)}^{2} - 25}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9.3.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(3 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9.3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3 x$ であり、 $b = 5$ です。

$f' (x) = \frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$ です。

$\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$(3 x + 5) (3 x - 5) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x + 5 = 0$

$3 x - 5 = 0$

ステップ 2.3.2

$3 x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$3 x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 5 = 0$

ステップ 2.3.2.2

$x$ について $3 x + 5 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$3 x = - 5$

ステップ 2.3.2.2.2

$3 x = - 5$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.2.1

$3 x = - 5$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

ステップ 2.3.2.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

ステップ 2.3.2.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{3}$

ステップ 2.3.2.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5}{3}$

ステップ 2.3.3

$3 x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$3 x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 5 = 0$

ステップ 2.3.3.2

$x$ について $3 x - 5 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$3 x = 5$

ステップ 2.3.3.2.2

$3 x = 5$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.1

$3 x = 5$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{5}{3}$

ステップ 2.3.4

最終解は $(3 x + 5) (3 x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{5}{3}, \frac{5}{3}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{9 x^{2} + 25}{x}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - \frac{5}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- \frac{5}{3}$ を $x$ に代入します。

$\frac{9 {(- \frac{5}{3})}^{2} + 25}{- \frac{5}{3}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$(9 {(- \frac{5}{3})}^{2} + 25) (- \frac{3}{5})$

ステップ 4.1.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1.1

積の法則を $- \frac{5}{3}$ に当てはめます。

$(9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2}) + 25) (- \frac{3}{5})$

ステップ 4.1.2.2.1.2

積の法則を $\frac{5}{3}$ に当てはめます。

$(9 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25) (- \frac{3}{5})$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$(9 (1 \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25) (- \frac{3}{5})$

ステップ 4.1.2.2.3

$\frac{5^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$(9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25) (- \frac{3}{5})$

ステップ 4.1.2.2.4

$5$ を $2$ 乗します。

$(9 \frac{25}{3^{2}} + 25) (- \frac{3}{5})$

ステップ 4.1.2.2.5

$3$ を $2$ 乗します。

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) (- \frac{3}{5})$

ステップ 4.1.2.2.6

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.6.1

共通因数を約分します。

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) (- \frac{3}{5})$

ステップ 4.1.2.2.6.2

式を書き換えます。

$(25 + 25) (- \frac{3}{5})$

ステップ 4.1.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$25$ と $25$ をたし算します。

$50 (- \frac{3}{5})$

ステップ 4.1.2.3.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.2.1

$- \frac{3}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$50 (\frac{- 3}{5})$

ステップ 4.1.2.3.2.2

$5$ を $50$ で因数分解します。

$5 (10) \frac{- 3}{5}$

ステップ 4.1.2.3.2.3

共通因数を約分します。

$5 \cdot 10 \frac{- 3}{5}$

ステップ 4.1.2.3.2.4

式を書き換えます。

$10 \cdot - 3$

ステップ 4.1.2.3.3

$10$ に $- 3$ をかけます。

$- 30$

ステップ 4.2

$x = \frac{5}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{5}{3}$ を $x$ に代入します。

$\frac{9 {(\frac{5}{3})}^{2} + 25}{\frac{5}{3}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$(9 {(\frac{5}{3})}^{2} + 25) \frac{3}{5}$

ステップ 4.2.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

積の法則を $\frac{5}{3}$ に当てはめます。

$(9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25) \frac{3}{5}$

ステップ 4.2.2.2.2

$5$ を $2$ 乗します。

$(9 \frac{25}{3^{2}} + 25) \frac{3}{5}$

ステップ 4.2.2.2.3

$3$ を $2$ 乗します。

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) \frac{3}{5}$

ステップ 4.2.2.2.4

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) \frac{3}{5}$

ステップ 4.2.2.2.4.2

式を書き換えます。

$(25 + 25) \frac{3}{5}$

ステップ 4.2.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.3.1

$25$ と $25$ をたし算します。

$50 (\frac{3}{5})$

ステップ 4.2.2.3.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.3.2.1

$5$ を $50$ で因数分解します。

$5 (10) \frac{3}{5}$

ステップ 4.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$5 \cdot 10 \frac{3}{5}$

ステップ 4.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$10 \cdot 3$

ステップ 4.2.2.3.3

$10$ に $3$ をかけます。

$30$

ステップ 4.3

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{9 {(0)}^{2} + 25}{0}$

ステップ 4.3.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(- \frac{5}{3}, - 30), (\frac{5}{3}, 30)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例