微分積分例

$\sum_{k = 1}^{30} (\frac{7}{30} k + 5) \frac{7}{30}$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

$\frac{7}{30}$ と $k$ をまとめます。

$(\frac{7 k}{30} + 5) \frac{7}{30}$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{7 k}{30} \cdot \frac{7}{30} + 5 (\frac{7}{30})$

ステップ 1.3

$\frac{7 k}{30} \cdot \frac{7}{30}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{7 k}{30}$ に $\frac{7}{30}$ をかけます。

$\frac{7 k \cdot 7}{30 \cdot 30} + 5 (\frac{7}{30})$

ステップ 1.3.2

$7$ に $7$ をかけます。

$\frac{49 k}{30 \cdot 30} + 5 (\frac{7}{30})$

ステップ 1.3.3

$30$ に $30$ をかけます。

$\frac{49 k}{900} + 5 (\frac{7}{30})$

ステップ 1.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$5$ を $30$ で因数分解します。

$\frac{49 k}{900} + 5 \frac{7}{5 (6)}$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{49 k}{900} + 5 \frac{7}{5 \cdot 6}$

ステップ 1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{49 k}{900} + \frac{7}{6}$

ステップ 1.5

総和を書き換えます。

$\sum_{k = 1}^{30} \frac{49 k}{900} + \frac{7}{6}$

ステップ 2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{k = 1}^{30} \frac{49 k}{900} + \frac{7}{6} = \sum_{k = 1}^{30} \frac{49 k}{900} + \sum_{k = 1}^{30} \frac{7}{6}$

ステップ 3

$\sum_{k = 1}^{30} \frac{49 k}{900}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

総和から因数 $\frac{49}{900}$ をくくり出します。

$(\frac{49}{900}) \sum_{k = 1}^{30} k$

ステップ 3.2

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 3.3

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(\frac{49}{900}) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

$30$ と $1$ をたし算します。

$\frac{49}{900} \cdot \frac{30 \cdot 31}{2}$

ステップ 3.4.1.2

$30$ に $31$ をかけます。

$\frac{49}{900} \cdot \frac{930}{2}$

ステップ 3.4.2

$30$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1

$30$ を $900$ で因数分解します。

$\frac{49}{30 (30)} \cdot \frac{930}{2}$

ステップ 3.4.2.2

$30$ を $930$ で因数分解します。

$\frac{49}{30 \cdot 30} \cdot \frac{30 \cdot 31}{2}$

ステップ 3.4.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{49}{30 \cdot 30} \cdot \frac{30 \cdot 31}{2}$

ステップ 3.4.2.4

式を書き換えます。

$\frac{49}{30} \cdot \frac{31}{2}$

ステップ 3.4.3

$\frac{49}{30}$ に $\frac{31}{2}$ をかけます。

$\frac{49 \cdot 31}{30 \cdot 2}$

ステップ 3.4.4

掛け算します。

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ステップ 3.4.4.1

$49$ に $31$ をかけます。

$\frac{1519}{30 \cdot 2}$

ステップ 3.4.4.2

$30$ に $2$ をかけます。

$\frac{1519}{60}$

ステップ 4

$\sum_{k = 1}^{30} \frac{7}{6}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 4.2

値を公式に代入します。

$(\frac{7}{6}) (30)$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.1

$6$ を $30$ で因数分解します。

$\frac{7}{6} (6 (5))$

ステップ 4.3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{7}{6} (6 \cdot 5)$

ステップ 4.3.1.3

式を書き換えます。

$7 \cdot 5$

ステップ 4.3.2

$7$ に $5$ をかけます。

$35$

ステップ 5

合計した結果を足します。

$\frac{1519}{60} + 35$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$35$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{60}{60}$ を掛けます。

$\frac{1519}{60} + 35 \cdot \frac{60}{60}$

ステップ 6.2

$35$ と $\frac{60}{60}$ をまとめます。

$\frac{1519}{60} + \frac{35 \cdot 60}{60}$

ステップ 6.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1519 + 35 \cdot 60}{60}$

ステップ 6.4

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.1

$35$ に $60$ をかけます。

$\frac{1519 + 2100}{60}$

ステップ 6.4.2

$1519$ と $2100$ をたし算します。

$\frac{3619}{60}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3619}{60}$

10進法形式：

$60.31\overline{6}$

帯分数形：

$60 \frac{19}{60}$

微分積分 例

微分積分例