微分積分例

$y = {(1 - 4 x)}^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(1 - 4 x)}^{2})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

${(1 - 4 x)}^{2}$ を $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(1 - 4 x) (1 - 4 x)]$

ステップ 3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ を展開します。

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ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [1 (1 - 4 x) - 4 x (1 - 4 x)]$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 (- 4 x) - 4 x (1 - 4 x)]$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 (- 4 x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x)]$

ステップ 3.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [1 + 1 (- 4 x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x)]$

ステップ 3.3.1.2

$- 4 x$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x)]$

ステップ 3.3.1.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x - 4 x (- 4 x)]$

ステップ 3.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot - 4 x \cdot x]$

ステップ 3.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot - 4 (x \cdot x)]$

ステップ 3.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot - 4 x^{2}]$

ステップ 3.3.1.6

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x + 16 x^{2}]$

ステップ 3.3.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [1 - 8 x + 16 x^{2}]$

ステップ 3.4

総和則では、 $1 - 8 x + 16 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

ステップ 3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

ステップ 3.6

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

ステップ 3.7

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

ステップ 3.9

$- 8$ に $1$ をかけます。

$- 8 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

ステップ 3.10

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x^{2}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 8 + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 + 16 (2 x)$

ステップ 3.12

式を簡約します。

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ステップ 3.12.1

$2$ に $16$ をかけます。

$- 8 + 32 x$

ステップ 3.12.2

項を並べ替えます。

$32 x - 8$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 32 x - 8$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 32 x - 8$

微分積分 例

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