微分積分例

$y = (6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = 6 x^{2} - 12 x + 12$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(6 x^{2} - 12 x + 12) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 12 x + 12]$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 12 x + 12]$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

総和則では、 $6 x^{2} - 12 x + 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$ です。

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12])$

ステップ 3.3.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12])$

ステップ 3.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12])$

ステップ 3.3.4

$2$ に $6$ をかけます。

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (12 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12])$

ステップ 3.3.5

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (12 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12])$

ステップ 3.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (12 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12])$

ステップ 3.3.7

$- 12$ に $1$ をかけます。

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (12 x - 12 + \frac{d}{d x} [12])$

ステップ 3.3.8

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (12 x - 12 + 0)$

ステップ 3.3.9

$12 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (12 x - 12)$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$6 x^{2} e^{x} - 12 x e^{x} + 12 e^{x} + e^{x} (12 x - 12)$

ステップ 3.4.2

分配則を当てはめます。

$6 x^{2} e^{x} - 12 x e^{x} + 12 e^{x} + e^{x} (12 x) + e^{x} \cdot - 12$

ステップ 3.4.3

項をまとめます。

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ステップ 3.4.3.1

$- 12$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$6 x^{2} e^{x} - 12 x e^{x} + 12 e^{x} + e^{x} (12 x) - 12 \cdot e^{x}$

ステップ 3.4.3.2

$- 12 x e^{x}$ と $e^{x} (12 x)$ をたし算します。

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ステップ 3.4.3.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$6 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} - 12 x e^{x} + 12 x e^{x} - 12 e^{x}$

ステップ 3.4.3.2.2

$- 12 x e^{x}$ と $12 x e^{x}$ をたし算します。

$6 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} + 0 - 12 e^{x}$

ステップ 3.4.3.3

$6 x^{2} e^{x} + 12 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$6 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} - 12 e^{x}$

ステップ 3.4.3.4

$12 e^{x}$ から $12 e^{x}$ を引きます。

$6 x^{2} e^{x} + 0$

ステップ 3.4.3.5

$6 x^{2} e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$6 x^{2} e^{x}$

ステップ 3.4.4

$6 x^{2} e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$6 e^{x} x^{2}$

ステップ 3.4.5

$6 e^{x} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$6 x^{2} e^{x}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 6 x^{2} e^{x}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} e^{x}$

微分積分 例

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