微分積分例

$y = x^{3} e^{x^{5}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x^{5}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = e^{x^{5}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x^{5}}] + e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{5}$ とします。

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{5}$ で置き換えます。

$x^{3} (e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (e^{x^{5}} (5 x^{4})) + e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.4

指数を足して $x^{3}$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$x^{4}$ を移動させます。

$x^{4} x^{3} (e^{x^{5}} \cdot (5)) + e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{4 + 3} (e^{x^{5}} \cdot (5)) + e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.4.3

$4$ と $3$ をたし算します。

$x^{7} (e^{x^{5}} \cdot (5)) + e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.5

$5$ を $e^{x^{5}}$ の左に移動させます。

$x^{7} (5 \cdot e^{x^{5}}) + e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{7} (5 e^{x^{5}}) + e^{x^{5}} (3 x^{2})$

ステップ 3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

項を並べ替えます。

$5 e^{x^{5}} x^{7} + 3 e^{x^{5}} x^{2}$

ステップ 3.7.2

$5 e^{x^{5}} x^{7} + 3 e^{x^{5}} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$5 x^{7} e^{x^{5}} + 3 x^{2} e^{x^{5}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 5 x^{7} e^{x^{5}} + 3 x^{2} e^{x^{5}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{7} e^{x^{5}} + 3 x^{2} e^{x^{5}}$

微分積分 例

微分積分例