微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + a x + b}$

ステップ 1

方程式を $\frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + a x + b} = f (x)$ として書き換えます。

$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + a x + b} = f (x)$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 4 x + 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $- 4$ です。

$- 3, - 1$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} = f (x)$

ステップ 3

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2} + a x + b, 1$

ステップ 3.2

括弧を削除します。

$x^{2} + a x + b, 1$

ステップ 3.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2} + a x + b$

ステップ 4

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} = f (x)$ の各項に $x^{2} + a x + b$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} = f (x)$ の各項に $x^{2} + a x + b$ を掛けます。

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} (x^{2} + a x + b) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$x^{2} + a x + b$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} (x^{2} + a x + b) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

ステップ 4.2.1.2

式を書き換えます。

$(x - 3) (x - 1) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

ステップ 4.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 3) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

分配則を当てはめます。

$x (x - 1) - 3 (x - 1) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

ステップ 4.2.2.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 (x - 1) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

ステップ 4.2.2.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

ステップ 4.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

ステップ 4.2.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 1 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

ステップ 4.2.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{2} - x - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

ステップ 4.2.3.1.4

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} - x - 3 x + 3 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

ステップ 4.2.3.2

$- x$ から $3 x$ を引きます。

$x^{2} - 4 x + 3 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 4 x + 3 = f (x) x^{2} + f (x) (a x) + f (x) b$

ステップ 4.3.2

$f (x) x^{2} + f (x) a x + f (x) b$ の因数を並べ替えます。

$x^{2} - 4 x + 3 = x^{2} f (x) + a x f (x) + b f (x)$

ステップ 5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式を $x^{2} f (x) + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$ として書き換えます。

$x^{2} f (x) + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$x$ を移動させます。

$x \cdot x^{2} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

ステップ 5.2.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{2} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

ステップ 5.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 2} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

ステップ 5.2.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{3} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

ステップ 5.2.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$x$ を移動させます。

$x^{3} f + a (x \cdot x) f + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

ステップ 5.2.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{3} f + a x^{2} f + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

ステップ 5.3

$b$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $x^{3} f$ を引きます。

$a x^{2} f + b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺から $a x^{2} f$ を引きます。

$b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f - a x^{2} f$

ステップ 5.4

$b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f - a x^{2} f$ の各項を $f x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f - a x^{2} f$ の各項を $f x$ で割ります。

$\frac{b f x}{f x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$f$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{b f x}{f x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{b x}{x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

ステップ 5.4.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{b x}{x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

ステップ 5.4.2.2.2

$b$ を $1$ で割ります。

$b = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.1

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$b = \frac{x \cdot x}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

ステップ 5.4.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.1.2.1

$x$ を $f x$ で因数分解します。

$b = \frac{x \cdot x}{x f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

ステップ 5.4.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$b = \frac{x \cdot x}{x f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

ステップ 5.4.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$b = \frac{x}{f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

ステップ 5.4.3.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$b = \frac{x}{f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

ステップ 5.4.3.1.2.2

式を書き換えます。

$b = \frac{x}{f} + \frac{- 4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

ステップ 5.4.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

ステップ 5.4.3.1.4

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.4.1

$x$ を $- x^{3} f$ で因数分解します。

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{x (- x^{2} f)}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

ステップ 5.4.3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.4.2.1

$x$ を $f x$ で因数分解します。

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{x (- x^{2} f)}{x f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

ステップ 5.4.3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{x (- x^{2} f)}{x f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

ステップ 5.4.3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{2} f}{f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

ステップ 5.4.3.1.5

$f$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.5.1

共通因数を約分します。

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{2} f}{f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

ステップ 5.4.3.1.5.2

$- x^{2}$ を $1$ で割ります。

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

ステップ 5.4.3.1.6

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.6.1

$x$ を $- a x^{2} f$ で因数分解します。

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{x (- a x f)}{f x}$

ステップ 5.4.3.1.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.6.2.1

$x$ を $f x$ で因数分解します。

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{x (- a x f)}{x f}$

ステップ 5.4.3.1.6.2.2

共通因数を約分します。

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{x (- a x f)}{x f}$

ステップ 5.4.3.1.6.2.3

式を書き換えます。

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{- a x f}{f}$

ステップ 5.4.3.1.7

$f$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.7.1

共通因数を約分します。

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{- a x f}{f}$

ステップ 5.4.3.1.7.2

$- a x$ を $1$ で割ります。

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} - a x$

微分積分 例

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