微分積分例

$\frac{6 y^{2} + 13 y + 6}{20 - 5 y} \div \frac{4 y^{2} - 9}{y^{2} - 2 y - 8}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{6 y^{2} + 13 y + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

ステップ 2

群による因数分解。

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ステップ 2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 6 \cdot 6 = 36$ で和が $b = 13$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$13$ を $13 y$ で因数分解します。

$\frac{6 y^{2} + 13 (y) + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

ステップ 2.1.2

$13$ を $4$ プラス $9$ に書き換える

$\frac{6 y^{2} + (4 + 9) y + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

ステップ 2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{6 y^{2} + 4 y + 9 y + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

ステップ 2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(6 y^{2} + 4 y) + 9 y + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{2 y (3 y + 2) + 3 (3 y + 2)}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

ステップ 2.3

最大公約数 $3 y + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

ステップ 3

$5$ を $20 - 5 y$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$5$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4) - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

ステップ 3.2

$5$ を $- 5 y$ で因数分解します。

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4) + 5 (- y)} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

ステップ 3.3

$5$ を $5 (4) + 5 (- y)$ で因数分解します。

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

ステップ 4

たすき掛けを利用して $y^{2} - 2 y - 8$ を因数分解します。

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ステップ 4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 8$ で、その和が $- 2$ です。

$- 4, 2$

ステップ 4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{4 y^{2} - 9}$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

$4 y^{2}$ を ${(2 y)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{{(2 y)}^{2} - 9}$

ステップ 5.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{{(2 y)}^{2} - 3^{2}}$

ステップ 5.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 y$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{(2 y + 3) (2 y - 3)}$

ステップ 6

$2 y + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$2 y + 3$ を $(3 y + 2) (2 y + 3)$ で因数分解します。

$\frac{(2 y + 3) (3 y + 2)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{(2 y + 3) (2 y - 3)}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$\frac{(2 y + 3) (3 y + 2)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{(2 y + 3) (2 y - 3)}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$\frac{3 y + 2}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{2 y - 3}$

ステップ 7

$\frac{3 y + 2}{5 (4 - y)}$ に $\frac{(y - 4) (y + 2)}{2 y - 3}$ をかけます。

$\frac{(3 y + 2) ((y - 4) (y + 2))}{5 (4 - y) (2 y - 3)}$

ステップ 8

$y - 4$ と $4 - y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1

$- 1$ を $y$ で因数分解します。

$\frac{(3 y + 2) ((- 1 (- y) - 4) (y + 2))}{5 (4 - y) (2 y - 3)}$

ステップ 8.2

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$\frac{(3 y + 2) ((- 1 (- y) - 1 (4)) (y + 2))}{5 (4 - y) (2 y - 3)}$

ステップ 8.3

$- 1$ を $- 1 (- y) - 1 (4)$ で因数分解します。

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (- y + 4) (y + 2))}{5 (4 - y) (2 y - 3)}$

ステップ 8.4

項を並べ替えます。

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (- y + 4) (y + 2))}{5 (- y + 4) (2 y - 3)}$

ステップ 8.5

共通因数を約分します。

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (- y + 4) (y + 2))}{5 (- y + 4) (2 y - 3)}$

ステップ 8.6

式を書き換えます。

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

ステップ 9

分子を簡約します。

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ステップ 9.1

書き換えます。

$\frac{(3 y + 2) ((y - 4) (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

ステップ 9.2

$- 1$ を $y$ で因数分解します。

$\frac{(3 y + 2) ((- 1 (- y) - 4) (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

ステップ 9.3

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$\frac{(3 y + 2) ((- 1 (- y) - 1 (4)) (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

ステップ 9.4

$- 1$ を $- 1 (- y) - 1 (4)$ で因数分解します。

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (- y + 4) (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

ステップ 9.5

書き換えます。

$\frac{(3 y + 2) ({(- 1)}^{- 1} (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

ステップ 9.6

$- 1$ を $- 1$ 乗します。

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

ステップ 9.7

不要な括弧を削除します。

$\frac{(3 y + 2) \cdot - 1 (y + 2)}{5 (2 y - 3)}$

ステップ 9.8

負をくくり出します。

$\frac{- (3 y + 2) (y + 2)}{5 (2 y - 3)}$

ステップ 10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(3 y + 2) (y + 2)}{5 (2 y - 3)}$

微分積分 例

微分積分例