微分積分例

$(1 - e^{z}) (z + e^{z})$

ステップ 1

$f (z) = 1 - e^{z}$ および $g (z) = z + e^{z}$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ は $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 - e^{z}) \frac{d}{d z} [z + e^{z}] + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $z + e^{z}$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]$ です。

$(1 - e^{z}) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 - e^{z}) (1 + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ は $a^{z} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $1 - e^{z}$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}]$ です。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

ステップ 4.2

$1$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (0 + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

ステップ 4.3

$0$ と $\frac{d}{d z} [- e^{z}]$ をたし算します。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [- e^{z}]$

ステップ 4.4

$- 1$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $- e^{z}$ の微分係数は $- \frac{d}{d z} [e^{z}]$ です。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- \frac{d}{d z} [e^{z}])$

ステップ 5

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ は $a^{z} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- e^{z})$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} (- e^{z})$

ステップ 6.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

指数を足して $e^{z}$ に $e^{z}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$e^{z}$ を移動させます。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} e^{z} \cdot - 1$

ステップ 6.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z + z} \cdot - 1$

ステップ 6.2.1.3

$z$ と $z$ をたし算します。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{2 z} \cdot - 1$

ステップ 6.2.2

$- 1$ を $e^{2 z}$ の左に移動させます。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - 1 \cdot e^{2 z}$

ステップ 6.2.3

$- 1 e^{2 z}$ を $- e^{2 z}$ に書き換えます。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - e^{2 z}$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$(1 + e^{z}) (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

ステップ 6.4

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + e^{z}) (1 - e^{z})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1

分配則を当てはめます。

$1 (1 - e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

ステップ 6.4.1.2

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

ステップ 6.4.1.3

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

ステップ 6.4.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

ステップ 6.4.2.1.2

$- e^{z}$ に $1$ をかけます。

$1 - e^{z} + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

ステップ 6.4.2.1.3

$e^{z}$ に $1$ をかけます。

$1 - e^{z} + e^{z} + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

ステップ 6.4.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z} e^{z} - e^{z} z - e^{2 z}$

ステップ 6.4.2.1.5

指数を足して $e^{z}$ に $e^{z}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.5.1

$e^{z}$ を移動させます。

$1 - e^{z} + e^{z} - (e^{z} e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

ステップ 6.4.2.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z + z} - e^{z} z - e^{2 z}$

ステップ 6.4.2.1.5.3

$z$ と $z$ をたし算します。

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

ステップ 6.4.2.2

$- e^{z}$ と $e^{z}$ をたし算します。

$1 + 0 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

ステップ 6.4.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

ステップ 6.5

$- e^{2 z}$ から $e^{2 z}$ を引きます。

$1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$

ステップ 6.6

$1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$ の因数を並べ替えます。

$1 - z e^{z} - 2 e^{2 z}$

微分積分 例

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