微分積分例

$\int_{x^{4}}^{x^{5}} {(2 t - 1)}^{3} d t$

ステップ 1

二項定理を利用します。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} {(2 t)}^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

ステップ 2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積の法則を $2 t$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 2^{3} t^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

ステップ 2.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

ステップ 2.3

積の法則を $2 t$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 3 (2^{2} t^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

ステップ 2.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 3 (4 t^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

ステップ 2.5

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 12 t^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

ステップ 2.6

$- 1$ に $12$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

ステップ 2.7

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

ステップ 2.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} d t]$

ステップ 2.9

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t + {(- 1)}^{3} d t]$

ステップ 2.10

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

ステップ 3

積分を2つの積分に分割し、 $c$ が $x^{4}$ と $x^{5}$ の間の値になるようにます。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t + \int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

ステップ 4

総和則では、 $\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t + \int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$ です。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

ステップ 5

積分の境界を入れ替えます。

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x^{4}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

ステップ 6

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $x$ に関する $- \int_{c}^{x^{4}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ の微分係数を取ります。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

ステップ 7

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

ステップ 8

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $x$ に関する $\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ の微分係数を取ります。

$4 x^{3} (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + \frac{d}{d x} [x^{5}] (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

ステップ 9

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

ステップ 9.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

${(x^{4})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 x^{3} (- (8 x^{4 \cdot 3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

ステップ 9.2.1.2

$4$ に $3$ をかけます。

$4 x^{3} (- (8 x^{12} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

ステップ 9.2.2

${(x^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 x^{3} (- (8 x^{12} - 12 x^{4 \cdot 2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

ステップ 9.2.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} (- (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

ステップ 9.2.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

ステップ 9.2.4

${(x^{5})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{5 \cdot 3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

ステップ 9.2.4.2

$5$ に $3$ をかけます。

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

ステップ 9.2.5

${(x^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 x^{5 \cdot 2} + 6 x^{5} - 1)$

ステップ 9.2.5.2

$5$ に $2$ をかけます。

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 x^{10} + 6 x^{5} - 1)$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$- 4 x^{3} (8 x^{12}) - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 x^{10} + 6 x^{5} - 1)$

ステップ 10.2

分配則を当てはめます。

$- 4 x^{3} (8 x^{12}) - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$8$ に $- 4$ をかけます。

$- 32 x^{3} x^{12} - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.2

指数を足して $x^{3}$ に $x^{12}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

$x^{12}$ を移動させます。

$- 32 (x^{12} x^{3}) - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 32 x^{12 + 3} - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.2.3

$12$ と $3$ をたし算します。

$- 32 x^{15} - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.3

$- 12$ に $- 4$ をかけます。

$- 32 x^{15} + 48 x^{3} x^{8} - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.4

指数を足して $x^{3}$ に $x^{8}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.4.1

$x^{8}$ を移動させます。

$- 32 x^{15} + 48 (x^{8} x^{3}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 32 x^{15} + 48 x^{8 + 3} - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.4.3

$8$ と $3$ をたし算します。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.5

$6$ に $- 4$ をかけます。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{3} x^{4} - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.6

指数を足して $x^{3}$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.6.1

$x^{4}$ を移動させます。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 (x^{4} x^{3}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{4 + 3} - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.6.3

$4$ と $3$ をたし算します。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.7

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.8

$8$ に $5$ をかけます。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{4} x^{15} + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.9

指数を足して $x^{4}$ に $x^{15}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.9.1

$x^{15}$ を移動させます。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 (x^{15} x^{4}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.9.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{15 + 4} + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.9.3

$15$ と $4$ をたし算します。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.10

$- 12$ に $5$ をかけます。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{4} x^{10} + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.11

指数を足して $x^{4}$ に $x^{10}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.11.1

$x^{10}$ を移動させます。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 (x^{10} x^{4}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.11.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{10 + 4} + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.11.3

$10$ と $4$ をたし算します。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.12

$6$ に $5$ をかけます。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{4} x^{5} + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.13

指数を足して $x^{4}$ に $x^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.13.1

$x^{5}$ を移動させます。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 (x^{5} x^{4}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.13.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{5 + 4} + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.13.3

$5$ と $4$ をたし算します。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{9} + 5 x^{4} \cdot - 1$

ステップ 10.3.14

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{9} - 5 x^{4}$

ステップ 10.4

項を並べ替えます。

$40 x^{19} - 32 x^{15} - 60 x^{14} + 48 x^{11} + 30 x^{9} - 24 x^{7} - 5 x^{4} + 4 x^{3}$

微分積分 例

微分積分例