微分積分例

$x^{9} y^{8} - y = x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{9} y^{8} - y) = \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{9} y^{8} - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{9} y^{8}] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{9} y^{8}] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{9} y^{8}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{9}$ および $g (x) = y^{8}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{9} \frac{d}{d x} [y^{8}] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{8}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x^{9} (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{9} (8 u^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x^{9} (8 y^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x^{9} (8 y^{7} y') + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.4

$n = 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{9} (8 y^{7} y') + y^{8} (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.5

$8$ を $x^{9}$ の左に移動させます。

$8 \cdot x^{9} y^{7} y' + y^{8} (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.6

$9$ を $y^{8}$ の左に移動させます。

$8 x^{9} y^{7} y' + 9 y^{8} x^{8} + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$8 x^{9} y^{7} y' + 9 y^{8} x^{8} - \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$8 x^{9} y^{7} y' + 9 y^{8} x^{8} - y'$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$8 x^{9} y^{7} y' + 9 x^{8} y^{8} - y'$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$8 x^{9} y^{7} y' + 9 x^{8} y^{8} - y' = 1$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $9 x^{8} y^{8}$ を引きます。

$8 x^{9} y^{7} y' - y' = 1 - 9 x^{8} y^{8}$

ステップ 5.2

$y'$ を $8 x^{9} y^{7} y' - y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y'$ を $8 x^{9} y^{7} y'$ で因数分解します。

$y' (8 x^{9} y^{7}) - y' = 1 - 9 x^{8} y^{8}$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $- y'$ で因数分解します。

$y' (8 x^{9} y^{7}) + y' \cdot - 1 = 1 - 9 x^{8} y^{8}$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $y' (8 x^{9} y^{7}) + y' \cdot - 1$ で因数分解します。

$y' (8 x^{9} y^{7} - 1) = 1 - 9 x^{8} y^{8}$

ステップ 5.3

$y' (8 x^{9} y^{7} - 1) = 1 - 9 x^{8} y^{8}$ の各項を $8 x^{9} y^{7} - 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y' (8 x^{9} y^{7} - 1) = 1 - 9 x^{8} y^{8}$ の各項を $8 x^{9} y^{7} - 1$ で割ります。

$\frac{y' (8 x^{9} y^{7} - 1)}{8 x^{9} y^{7} - 1} = \frac{1}{8 x^{9} y^{7} - 1} + \frac{- 9 x^{8} y^{8}}{8 x^{9} y^{7} - 1}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$8 x^{9} y^{7} - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (8 x^{9} y^{7} - 1)}{8 x^{9} y^{7} - 1} = \frac{1}{8 x^{9} y^{7} - 1} + \frac{- 9 x^{8} y^{8}}{8 x^{9} y^{7} - 1}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{1}{8 x^{9} y^{7} - 1} + \frac{- 9 x^{8} y^{8}}{8 x^{9} y^{7} - 1}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{1 - 9 x^{8} y^{8}}{8 x^{9} y^{7} - 1}$

ステップ 5.3.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y' = \frac{1^{2} - 9 x^{8} y^{8}}{8 x^{9} y^{7} - 1}$

ステップ 5.3.3.2.2

$9 x^{8} y^{8}$ を ${(3 x^{4} y^{4})}^{2}$ に書き換えます。

$y' = \frac{1^{2} - {(3 x^{4} y^{4})}^{2}}{8 x^{9} y^{7} - 1}$

ステップ 5.3.3.2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = 3 x^{4} y^{4}$ です。

$y' = \frac{(1 + 3 x^{4} y^{4}) (1 - (3 x^{4} y^{4}))}{8 x^{9} y^{7} - 1}$

ステップ 5.3.3.2.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y' = \frac{(1 + 3 x^{4} y^{4}) (1 - 3 x^{4} y^{4})}{8 x^{9} y^{7} - 1}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + 3 x^{4} y^{4}) (1 - 3 x^{4} y^{4})}{8 x^{9} y^{7} - 1}$

微分積分 例

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