微分積分例

$x \sqrt{y} = 1$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x y^{\frac{1}{2}} = 1$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.8

$\frac{1}{2}$ と $y^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.10

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.11

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} y' + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.12

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 3.14

$y^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} = 0$

ステップ 6

$y'$ について解きます。

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ステップ 6.1

各項にある共通因数 $y^{\frac{1}{2}}$ を求めます。

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2

$u$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

ステップ 6.3

$u$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

積の法則を $x {y'}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$\frac{1}{2 x^{2} {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

ステップ 6.3.1.2

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

ステップ 6.3.1.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

ステップ 6.3.1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{1}} + u = 0$

ステップ 6.3.1.3

簡約します。

$\frac{1}{2 x^{2} y'} + u = 0$

ステップ 6.3.2

方程式の両辺から $\frac{1}{2 x^{2} y'}$ を引きます。

$u = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

ステップ 6.4

$y'$ を $u$ に代入します。

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

ステップ 6.5

方程式の両辺から $y^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.6

両辺に $2 y^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.7

簡約します。

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ステップ 6.7.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.7.1.1

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

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ステップ 6.7.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.7.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.7.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.7.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.7.1.1.3

$y^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.7.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.7.1.1.3.2

式を書き換えます。

$x y' = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.7.2.1

$- y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

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ステップ 6.7.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.7.2.1.2

指数を足して $y^{\frac{1}{2}}$ に $y^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 6.7.2.1.2.1

$y^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$x y' = - 1 \cdot 2 (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.7.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

ステップ 6.7.2.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1 + 1}{2}}$

ステップ 6.7.2.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{2}{2}}$

ステップ 6.7.2.1.2.5

$2$ を $2$ で割ります。

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{1}$

ステップ 6.7.2.1.3

$- 1 \cdot 2 y^{1}$ を簡約します。

$x y' = - 1 \cdot 2 y$

ステップ 6.7.2.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x y' = - 2 y$

ステップ 6.8

$x y' = - 2 y$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.8.1

$x y' = - 2 y$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

ステップ 6.8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.8.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

ステップ 6.8.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 y}{x}$

ステップ 6.8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.8.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 y}{x}$

ステップ 7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x}$

微分積分 例

微分積分例