微分積分例

$y = x^{2} \sin (4 x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{2} \sin (4 x))$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (y) = x^{2}$ および $g (y) = \sin (4 x)$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d y} [\sin (4 x)] + \sin (4 x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

ステップ 3.2

$f (y) = \sin (y)$ および $g (y) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d y} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

ステップ 3.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$x^{2} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d y} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$x^{2} (\cos (4 x) \frac{d}{d y} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

ステップ 3.3

$4$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d y} [x]$ です。

$x^{2} (\cos (4 x) (4 \frac{d}{d y} [x])) + \sin (4 x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x^{2} (\cos (4 x) (4 x')) + \sin (4 x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

ステップ 3.5

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x$ とします。

$x^{2} (\cos (4 x) (4 x')) + \sin (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 3.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (\cos (4 x) (4 x')) + \sin (4 x) (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 3.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$x^{2} (\cos (4 x) (4 x')) + \sin (4 x) (2 x \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 3.6

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x^{2} (\cos (4 x) (4 x')) + \sin (4 x) (2 x x')$

ステップ 3.7

項を並べ替えます。

$4 x^{2} \cos (4 x) x' + 2 x \sin (4 x) x'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = 4 x^{2} \cos (4 x) x' + 2 x \sin (4 x) x'$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $4 x^{2} \cos (4 x) x' + 2 x \sin (4 x) x' = 1$ として書き換えます。

$4 x^{2} \cos (4 x) x' + 2 x \sin (4 x) x' = 1$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$4 x^{2} \cos (4 x) x' + 2 x \sin (4 x) x'$ の因数を並べ替えます。

$4 x^{2} x' \cos (4 x) + 2 x x' \sin (4 x) = 1$

ステップ 5.3

$2 x x'$ を $4 x^{2} x' \cos (4 x) + 2 x x' \sin (4 x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$2 x x'$ を $4 x^{2} x' \cos (4 x)$ で因数分解します。

$2 x x' (2 x \cos (4 x)) + 2 x x' \sin (4 x) = 1$

ステップ 5.3.2

$2 x x'$ を $2 x x' \sin (4 x)$ で因数分解します。

$2 x x' (2 x \cos (4 x)) + 2 x x' \sin (4 x) = 1$

ステップ 5.3.3

$2 x x'$ を $2 x x' (2 x \cos (4 x)) + 2 x x' \sin (4 x)$ で因数分解します。

$2 x x' (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x)) = 1$

ステップ 5.4

$2 x x' (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x)) = 1$ の各項を $2 x (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$2 x x' (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x)) = 1$ の各項を $2 x (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))$ で割ります。

$\frac{2 x x' (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))}{2 x (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))} = \frac{1}{2 x (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x x' (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))}{2 x (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))} = \frac{1}{2 x (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x x' (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))}{x (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))} = \frac{1}{2 x (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))}$

ステップ 5.4.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x x' (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))}{x (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))} = \frac{1}{2 x (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))}$

ステップ 5.4.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x' (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))}{2 x \cos (4 x) + \sin (4 x)} = \frac{1}{2 x (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))}$

ステップ 5.4.2.3

$2 x \cos (4 x) + \sin (4 x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))}{2 x \cos (4 x) + \sin (4 x)} = \frac{1}{2 x (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))}$

ステップ 5.4.2.3.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{1}{2 x (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (2 x \cos (4 x) + \sin (4 x))}$

微分積分 例

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