微分積分例

$y = 4 x \sin^{-1} (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 x \sin^{-1} (x))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x \sin^{-1} (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x \sin^{-1} (x)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x \sin^{-1} (x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin^{-1} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (x \frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)] + \sin^{-1} (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\sin^{-1} (x)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ です。

$4 (x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

$x$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ をまとめます。

$4 (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x) \cdot 1)$

ステップ 3.4.3

$\sin^{-1} (x)$ に $1$ をかけます。

$4 (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x))$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$4 \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 4 \sin^{-1} (x)$

ステップ 3.5.2

$4$ と $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 4 \sin^{-1} (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 4 \sin^{-1} (x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 4 \sin^{-1} (x)$

微分積分 例

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