微分積分例

$y = \sqrt{x} (x - 2)$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = x^{\frac{1}{2}} (x - 2)$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} (x - 2))$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2

微分します。

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ステップ 4.2.1

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2.3

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2.4

式を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2.4.2

$x^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2.5

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 4.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 4.8

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 2) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 4.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10

簡約します。

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ステップ 4.10.1

分配則を当てはめます。

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2

項をまとめます。

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ステップ 4.10.2.1

$x$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.3

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.10.2.3.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 4.10.2.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.3.4

$2$ から $1$ を引きます。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.4

$- 2$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.5

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.6

共通因数を約分します。

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ステップ 4.10.2.6.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 4.10.2.6.2

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.6.3

式を書き換えます。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.8

$x^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.9

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.11

$2$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.12

$2 x^{\frac{1}{2}}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をたし算します。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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