微分積分例

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 54$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $- x^{3} + 9 x^{2} - 54$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 54]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $9$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [- 54]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$- 54$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 54$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 x^{2} + 18 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$- 3 x^{2} + 18 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3 x^{2} + 18 x$ です。

$- 3 x^{2} + 18 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 x^{2} + 18 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 x^{2} + 18 x = 0$

ステップ 2.2

$- 3 x$ を $- 3 x^{2} + 18 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 3 x$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$- 3 x \cdot x + 18 x = 0$

ステップ 2.2.2

$- 3 x$ を $18 x$ で因数分解します。

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 6 = 0$

ステップ 2.2.3

$- 3 x$ を $- 3 x (x) - 3 x (- 6)$ で因数分解します。

$- 3 x (x - 6) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 6 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 2.6

最終解は $- 3 x (x - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 6$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, 6$ です。

$0, 6$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = - 3 {(- 1)}^{2} + 18 (- 1)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = - 3 \cdot 1 + 18 (- 1)$

ステップ 5.2.1.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 3 + 18 (- 1)$

ステップ 5.2.1.3

$18$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 3 - 18$

ステップ 5.2.2

$- 3$ から $18$ を引きます。

$f' (- 1) = - 21$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 21$ です。

$- 21$

ステップ 5.3

$x = - 1$ で微分係数は $- 21$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 6

区間 $(0, 6)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = - 3 {(3)}^{2} + 18 (3)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f' (3) = - 3 \cdot 9 + 18 (3)$

ステップ 6.2.1.2

$- 3$ に $9$ をかけます。

$f' (3) = - 27 + 18 (3)$

ステップ 6.2.1.3

$18$ に $3$ をかけます。

$f' (3) = - 27 + 54$

ステップ 6.2.2

$- 27$ と $54$ をたし算します。

$f' (3) = 27$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $27$ です。

$27$

ステップ 6.3

$x = 3$ で微分係数は $27$ です。これは正の値なので、関数は $(0, 6)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, 6)$ で増加

ステップ 7

区間 $(6, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $7$ で置換えます。

$f' (7) = - 3 {(7)}^{2} + 18 (7)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$f' (7) = - 3 \cdot 49 + 18 (7)$

ステップ 7.2.1.2

$- 3$ に $49$ をかけます。

$f' (7) = - 147 + 18 (7)$

ステップ 7.2.1.3

$18$ に $7$ をかけます。

$f' (7) = - 147 + 126$

ステップ 7.2.2

$- 147$ と $126$ をたし算します。

$f' (7) = - 21$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 21$ です。

$- 21$

ステップ 7.3

$x = 7$ で微分係数は $- 21$ です。これは負の値なので、関数は $(6, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(6, \infty)$ で減少

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(0, 6)$ で増加

$(- \infty, 0), (6, \infty)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例