微分積分例

$g (θ) = e^{θ} (\tan (θ) - θ)$

ステップ 1

$f (θ) = e^{θ}$ および $g (θ) = \tan (θ) - θ$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ は $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{θ} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) - θ] + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

ステップ 2

総和則では、 $\tan (θ) - θ$ の $θ$ に関する積分は $\frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \frac{d}{d θ} [- θ]$ です。

$e^{θ} (\frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \frac{d}{d θ} [- θ]) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

ステップ 3

$θ$ に関する $\tan (θ)$ の微分係数は $\sec^{2} (θ)$ です。

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) + \frac{d}{d θ} [- θ]) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 1$ は $θ$ に対して定数なので、 $θ$ に対する $- θ$ の微分係数は $- \frac{d}{d θ} [θ]$ です。

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - \frac{d}{d θ} [θ]) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - 1 \cdot 1) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

ステップ 4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - 1) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

ステップ 5

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [a^{θ}]$ は $a^{θ} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - 1) + (\tan (θ) - θ) e^{θ}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$e^{θ} \sec^{2} (θ) + e^{θ} \cdot - 1 + (\tan (θ) - θ) e^{θ}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$e^{θ} \sec^{2} (θ) + e^{θ} \cdot - 1 + \tan (θ) e^{θ} - θ e^{θ}$

ステップ 6.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$- 1$ を $e^{θ}$ の左に移動させます。

$e^{θ} \sec^{2} (θ) - 1 \cdot e^{θ} + \tan (θ) e^{θ} - θ e^{θ}$

ステップ 6.3.2

$- 1 e^{θ}$ を $- e^{θ}$ に書き換えます。

$e^{θ} \sec^{2} (θ) - e^{θ} + \tan (θ) e^{θ} - θ e^{θ}$

ステップ 6.4

項を並べ替えます。

$e^{θ} \sec^{2} (θ) + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ - e^{θ}$

ステップ 6.5

$- e^{θ}$ を移動させます。

$e^{θ} \sec^{2} (θ) - e^{θ} + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

ステップ 6.6

$e^{θ}$ を $e^{θ} \sec^{2} (θ)$ で因数分解します。

$e^{θ} (\sec^{2} (θ)) - e^{θ} + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

ステップ 6.7

$e^{θ}$ を $- e^{θ}$ で因数分解します。

$e^{θ} (\sec^{2} (θ)) + e^{θ} \cdot - 1 + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

ステップ 6.8

$e^{θ}$ を $e^{θ} (\sec^{2} (θ)) + e^{θ} \cdot - 1$ で因数分解します。

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - 1) + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

ステップ 6.9

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$e^{θ} \tan^{2} (θ) + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

ステップ 6.10

$e^{θ} \tan^{2} (θ) + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$ の因数を並べ替えます。

$e^{θ} \tan^{2} (θ) + e^{θ} \tan (θ) - θ e^{θ}$

微分積分 例

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