微分積分例

$h (x) = x^{2} \log_{3} (x - π)$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \log_{3} (x - π)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{3} (x - π)] + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2

$f (x) = \log_{3} (x)$ および $g (x) = x - π$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - π$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [x - π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\log_{3} (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u \ln (3)}$ です。

$x^{2} (\frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x - π$ で置き換えます。

$x^{2} (\frac{1}{(x - π) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{(x - π) \ln (3)}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - π] + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

総和則では、 $x - π$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ です。

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} (1 + \frac{d}{d x} [- π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.4

$- π$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- π$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} (1 + 0) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.5

式を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} \cdot 1 + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.5.2

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + \log_{3} (x - π) (2 x)$

ステップ 4

公分母を利用して $\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)}$ と $\log_{3} (x - π) (2 x)$ を組み合わせます。

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ステップ 4.1

$\log_{3} (x - π)$ を移動させます。

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + 2 x \log_{3} (x - π)$

ステップ 4.2

$2 x \log_{3} (x - π)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(x - π) \ln (3)}{(x - π) \ln (3)}$ を掛けます。

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + 2 x \log_{3} (x - π) \cdot \frac{(x - π) \ln (3)}{(x - π) \ln (3)}$

ステップ 4.3

$2 x \log_{3} (x - π)$ と $\frac{(x - π) \ln (3)}{(x - π) \ln (3)}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + \frac{2 x \log_{3} (x - π) ((x - π) \ln (3))}{(x - π) \ln (3)}$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} + 2 x \log_{3} (x - π) ((x - π) \ln (3))}{(x - π) \ln (3)}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 2 x \log_{3} (x - π) (x \ln (3) - π \ln (3))}{(x - π) \ln (3)}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 2 x \log_{3} (x - π) (x \ln (3) - π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

ステップ 5.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \log_{3} (x - π)$ を簡約します。

$\frac{x^{2} + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (x \ln (3) - π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

ステップ 5.3.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (x \ln (3)) + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

ステップ 5.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{2} + \ln (3) x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) x + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

ステップ 5.3.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} + \ln (3) (x \cdot x) \log_{3} ({(x - π)}^{2}) + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

ステップ 5.3.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + \ln (3) x^{2} \log_{3} ({(x - π)}^{2}) + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

ステップ 5.3.2

$x^{2} + \ln (3) x^{2} \log_{3} ({(x - π)}^{2}) + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{2} + x^{2} \ln (3) \log_{3} ({(x - π)}^{2}) - x π \log_{3} ({(x - π)}^{2}) \ln (3)}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

ステップ 5.4

項を並べ替えます。

$\frac{x^{2} + x^{2} \ln (3) \log_{3} ({(x - π)}^{2}) - π x \ln (3) \log_{3} ({(x - π)}^{2})}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

微分積分 例

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