微分積分例

$y = \frac{1}{x^{2} + x}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} + x})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x^{2} + x}$ を ${(x^{2} + x)}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{- 1}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

ステップ 3.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + x$ で置き換えます。

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

総和則では、 $x^{2} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (2 x + 1)$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}} (2 x + 1)$

ステップ 3.4.2

$- \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}} (2 x + 1)$ の因数を並べ替えます。

$- (2 x + 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

ステップ 3.4.3

分配則を当てはめます。

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

ステップ 3.4.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

ステップ 3.4.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

ステップ 3.4.6

分母を簡約します。

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ステップ 3.4.6.1

$x$ を $x^{2} + x$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.6.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.1.2

$x$ を $1$ 乗します。

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x^{1})}^{2}}$

ステップ 3.4.6.1.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.1.4

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 1$ で因数分解します。

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x (x + 1))}^{2}}$

ステップ 3.4.6.2

積の法則を $x (x + 1)$ に当てはめます。

$(- 2 x - 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.7

$- 2 x - 1$ に $\frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{- 2 x - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.8

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x) - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.9

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.10

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.11

$- (2 x + 1)$ を $- 1 (2 x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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