微分積分例

$y = 4 t {(2 t + 5)}^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (4 t {(2 t + 5)}^{3})$

ステップ 2

$t$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 t {(2 t + 5)}^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [t {(2 t + 5)}^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d t} [t {(2 t + 5)}^{3}]$

ステップ 3.2

$f (t) = t$ および $g (t) = {(2 t + 5)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (t \frac{d}{d t} [{(2 t + 5)}^{3}] + {(2 t + 5)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.3

$f (t) = t^{3}$ および $g (t) = 2 t + 5$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 t + 5$ とします。

$4 (t (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [2 t + 5]) + {(2 t + 5)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (t (3 u^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 5]) + {(2 t + 5)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $2 t + 5$ で置き換えます。

$4 (t (3 {(2 t + 5)}^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 5]) + {(2 t + 5)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.4

微分します。

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ステップ 3.4.1

総和則では、 $2 t + 5$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [5]$ です。

$4 (t (3 {(2 t + 5)}^{2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [5])) + {(2 t + 5)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.4.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$4 (t (3 {(2 t + 5)}^{2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5])) + {(2 t + 5)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (t (3 {(2 t + 5)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5])) + {(2 t + 5)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.4.4

$2$ に $1$ をかけます。

$4 (t (3 {(2 t + 5)}^{2} (2 + \frac{d}{d t} [5])) + {(2 t + 5)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.4.5

$5$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$4 (t (3 {(2 t + 5)}^{2} (2 + 0)) + {(2 t + 5)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.4.6

式を簡約します。

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ステップ 3.4.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$4 (t (3 {(2 t + 5)}^{2} \cdot 2) + {(2 t + 5)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.4.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$4 (t (6 {(2 t + 5)}^{2}) + {(2 t + 5)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (t (6 {(2 t + 5)}^{2}) + {(2 t + 5)}^{3} \cdot 1)$

ステップ 3.4.8

${(2 t + 5)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$4 (t (6 {(2 t + 5)}^{2}) + {(2 t + 5)}^{3})$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$4 (t (6 {(2 t + 5)}^{2})) + 4 {(2 t + 5)}^{3}$

ステップ 3.5.2

$6$ に $4$ をかけます。

$24 (t ({(2 t + 5)}^{2})) + 4 {(2 t + 5)}^{3}$

ステップ 3.5.3

$4 {(2 t + 5)}^{2}$ を $24 t {(2 t + 5)}^{2} + 4 {(2 t + 5)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.3.1

$4 {(2 t + 5)}^{2}$ を $24 t {(2 t + 5)}^{2}$ で因数分解します。

$4 {(2 t + 5)}^{2} (6 t) + 4 {(2 t + 5)}^{3}$

ステップ 3.5.3.2

$4 {(2 t + 5)}^{2}$ を $4 {(2 t + 5)}^{3}$ で因数分解します。

$4 {(2 t + 5)}^{2} (6 t) + 4 {(2 t + 5)}^{2} (2 t + 5)$

ステップ 3.5.3.3

$4 {(2 t + 5)}^{2}$ を $4 {(2 t + 5)}^{2} (6 t) + 4 {(2 t + 5)}^{2} (2 t + 5)$ で因数分解します。

$4 {(2 t + 5)}^{2} (6 t + 2 t + 5)$

ステップ 3.5.4

$6 t$ と $2 t$ をたし算します。

$4 {(2 t + 5)}^{2} (8 t + 5)$

ステップ 3.5.5

${(2 t + 5)}^{2}$ を $(2 t + 5) (2 t + 5)$ に書き換えます。

$4 ((2 t + 5) (2 t + 5)) (8 t + 5)$

ステップ 3.5.6

分配法則（FOIL法）を使って $(2 t + 5) (2 t + 5)$ を展開します。

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ステップ 3.5.6.1

分配則を当てはめます。

$4 (2 t (2 t + 5) + 5 (2 t + 5)) (8 t + 5)$

ステップ 3.5.6.2

分配則を当てはめます。

$4 (2 t (2 t) + 2 t \cdot 5 + 5 (2 t + 5)) (8 t + 5)$

ステップ 3.5.6.3

分配則を当てはめます。

$4 (2 t (2 t) + 2 t \cdot 5 + 5 (2 t) + 5 \cdot 5) (8 t + 5)$

ステップ 3.5.7

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.5.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.7.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 5 + 5 (2 t) + 5 \cdot 5) (8 t + 5)$

ステップ 3.5.7.1.2

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.2.1

$t$ を移動させます。

$4 (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 5 + 5 (2 t) + 5 \cdot 5) (8 t + 5)$

ステップ 3.5.7.1.2.2

$t$ に $t$ をかけます。

$4 (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 5 + 5 (2 t) + 5 \cdot 5) (8 t + 5)$

ステップ 3.5.7.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 (4 t^{2} + 2 t \cdot 5 + 5 (2 t) + 5 \cdot 5) (8 t + 5)$

ステップ 3.5.7.1.4

$5$ に $2$ をかけます。

$4 (4 t^{2} + 10 t + 5 (2 t) + 5 \cdot 5) (8 t + 5)$

ステップ 3.5.7.1.5

$2$ に $5$ をかけます。

$4 (4 t^{2} + 10 t + 10 t + 5 \cdot 5) (8 t + 5)$

ステップ 3.5.7.1.6

$5$ に $5$ をかけます。

$4 (4 t^{2} + 10 t + 10 t + 25) (8 t + 5)$

ステップ 3.5.7.2

$10 t$ と $10 t$ をたし算します。

$4 (4 t^{2} + 20 t + 25) (8 t + 5)$

ステップ 3.5.8

分配則を当てはめます。

$(4 (4 t^{2}) + 4 (20 t) + 4 \cdot 25) (8 t + 5)$

ステップ 3.5.9

簡約します。

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ステップ 3.5.9.1

$4$ に $4$ をかけます。

$(16 t^{2} + 4 (20 t) + 4 \cdot 25) (8 t + 5)$

ステップ 3.5.9.2

$20$ に $4$ をかけます。

$(16 t^{2} + 80 t + 4 \cdot 25) (8 t + 5)$

ステップ 3.5.9.3

$4$ に $25$ をかけます。

$(16 t^{2} + 80 t + 100) (8 t + 5)$

ステップ 3.5.10

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(16 t^{2} + 80 t + 100) (8 t + 5)$ を展開します。

$16 t^{2} (8 t) + 16 t^{2} \cdot 5 + 80 t (8 t) + 80 t \cdot 5 + 100 (8 t) + 100 \cdot 5$

ステップ 3.5.11

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.11.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$16 \cdot 8 t^{2} t + 16 t^{2} \cdot 5 + 80 t (8 t) + 80 t \cdot 5 + 100 (8 t) + 100 \cdot 5$

ステップ 3.5.11.2

指数を足して $t^{2}$ に $t$ を掛けます。

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ステップ 3.5.11.2.1

$t$ を移動させます。

$16 \cdot 8 (t \cdot t^{2}) + 16 t^{2} \cdot 5 + 80 t (8 t) + 80 t \cdot 5 + 100 (8 t) + 100 \cdot 5$

ステップ 3.5.11.2.2

$t$ に $t^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.5.11.2.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$16 \cdot 8 (t^{1} t^{2}) + 16 t^{2} \cdot 5 + 80 t (8 t) + 80 t \cdot 5 + 100 (8 t) + 100 \cdot 5$

ステップ 3.5.11.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16 \cdot 8 t^{1 + 2} + 16 t^{2} \cdot 5 + 80 t (8 t) + 80 t \cdot 5 + 100 (8 t) + 100 \cdot 5$

ステップ 3.5.11.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$16 \cdot 8 t^{3} + 16 t^{2} \cdot 5 + 80 t (8 t) + 80 t \cdot 5 + 100 (8 t) + 100 \cdot 5$

ステップ 3.5.11.3

$16$ に $8$ をかけます。

$128 t^{3} + 16 t^{2} \cdot 5 + 80 t (8 t) + 80 t \cdot 5 + 100 (8 t) + 100 \cdot 5$

ステップ 3.5.11.4

$5$ に $16$ をかけます。

$128 t^{3} + 80 t^{2} + 80 t (8 t) + 80 t \cdot 5 + 100 (8 t) + 100 \cdot 5$

ステップ 3.5.11.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$128 t^{3} + 80 t^{2} + 80 \cdot 8 t \cdot t + 80 t \cdot 5 + 100 (8 t) + 100 \cdot 5$

ステップ 3.5.11.6

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.11.6.1

$t$ を移動させます。

$128 t^{3} + 80 t^{2} + 80 \cdot 8 (t \cdot t) + 80 t \cdot 5 + 100 (8 t) + 100 \cdot 5$

ステップ 3.5.11.6.2

$t$ に $t$ をかけます。

$128 t^{3} + 80 t^{2} + 80 \cdot 8 t^{2} + 80 t \cdot 5 + 100 (8 t) + 100 \cdot 5$

ステップ 3.5.11.7

$80$ に $8$ をかけます。

$128 t^{3} + 80 t^{2} + 640 t^{2} + 80 t \cdot 5 + 100 (8 t) + 100 \cdot 5$

ステップ 3.5.11.8

$5$ に $80$ をかけます。

$128 t^{3} + 80 t^{2} + 640 t^{2} + 400 t + 100 (8 t) + 100 \cdot 5$

ステップ 3.5.11.9

$8$ に $100$ をかけます。

$128 t^{3} + 80 t^{2} + 640 t^{2} + 400 t + 800 t + 100 \cdot 5$

ステップ 3.5.11.10

$100$ に $5$ をかけます。

$128 t^{3} + 80 t^{2} + 640 t^{2} + 400 t + 800 t + 500$

ステップ 3.5.12

$80 t^{2}$ と $640 t^{2}$ をたし算します。

$128 t^{3} + 720 t^{2} + 400 t + 800 t + 500$

ステップ 3.5.13

$400 t$ と $800 t$ をたし算します。

$128 t^{3} + 720 t^{2} + 1200 t + 500$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 128 t^{3} + 720 t^{2} + 1200 t + 500$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d t} = 128 t^{3} + 720 t^{2} + 1200 t + 500$

微分積分 例

微分積分例