微分積分例

$f (x) = 3 x^{2} + 2 \cos (x) - 4 e^{4 x} + π$

ステップ 1

総和則では、 $3 x^{2} + 2 \cos (x) - 4 e^{4 x} + π$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$6 x + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$6 x + 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$6 x - 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 e^{4 x}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ です。

$6 x - 2 \sin (x) - 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 4.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 4.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 4.5

$4$ に $1$ をかけます。

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 4.6

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 4.7

$4$ に $- 4$ をかけます。

$6 x - 2 \sin (x) - 16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 5

$π$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $π$ の微分係数は $0$ です。

$6 x - 2 \sin (x) - 16 e^{4 x} + 0$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$6 x - 2 \sin (x) - 16 e^{4 x}$ と $0$ をたし算します。

$6 x - 2 \sin (x) - 16 e^{4 x}$

ステップ 6.2

項を並べ替えます。

$6 x - 16 e^{4 x} - 2 \sin (x)$

微分積分 例

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