微分積分例

$f (x) = e^{x} (3 x^{2} - 2 x^{3})$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x^{2} - 2 x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x^{3}] + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 2 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ です。

$e^{x} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$e^{x} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.4

$2$ に $3$ をかけます。

$e^{x} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.5

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{3}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$e^{x} (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} (6 x - 2 (3 x^{2})) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.7

$3$ に $- 2$ をかけます。

$e^{x} (6 x - 6 x^{2}) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} (6 x - 6 x^{2}) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) e^{x}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$e^{x} (6 x) + e^{x} (- 6 x^{2}) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) e^{x}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$e^{x} (6 x) + e^{x} (- 6 x^{2}) + 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$

ステップ 4.3

$e^{x} (- 6 x^{2})$ と $3 x^{2} e^{x}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$e^{x}$ を移動させます。

$e^{x} (6 x) - 6 x^{2} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$

ステップ 4.3.2

$- 6 x^{2} e^{x}$ と $3 x^{2} e^{x}$ をたし算します。

$e^{x} (6 x) - 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$6 e^{x} x - 3 e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x^{3}$

ステップ 4.5

$6 e^{x} x - 3 e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$6 x e^{x} - 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$

微分積分 例

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