微分積分例

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{7 x^{2}}}$

ステップ 1

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{7 x^{2}}$ を ${(7 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(7 x^{2})}^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 1.2

$7$ を $7 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(7 (x^{2}))}^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 1.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.3.1

積の法則を $7 (x^{2})$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{7^{\frac{1}{3}} {(x^{2})}^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 1.3.2

${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{7^{\frac{1}{3}} x^{2 (\frac{1}{3})}}]$

ステップ 1.3.2.2

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{7^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}]$

ステップ 2

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{7^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$ の微分係数は $\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ です。

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

ステップ 3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ を ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

ステップ 3.2

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

ステップ 3.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

ステップ 3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

ステップ 4

$n = - \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

ステップ 5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 6

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

ステップ 8.2

$- 2$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

ステップ 9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

ステップ 10

$x^{- \frac{5}{3}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

ステップ 11

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}}$ に $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ をかけます。

$- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{7^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

ステップ 12

式を簡約します。

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ステップ 12.1

$2$ を $x^{- \frac{5}{3}}$ の左に移動させます。

$- \frac{2 \cdot x^{- \frac{5}{3}}}{7^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

ステップ 12.2

$3$ を $7^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 12.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{5}{3}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{2}{3 \cdot 7^{\frac{1}{3}} x^{\frac{5}{3}}}$

微分積分 例

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