微分積分例

$y = x^{3}$ , $[0, 5]$

ステップ 1

指定した区間 $[a, b]$ における関数 $f$ の二乗平均平方根は、元の値の二乗の算術平均（平均）の平方根です。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

ステップ 2

実際の値を関数の二乗平均平方根の公式に代入します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{5 - 0} \cdot (\int_{0}^{5} {(x^{3})}^{2} d x)}$

ステップ 3

積分を求めます。

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ステップ 3.1

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{0}^{5} x^{3 \cdot 2} d x$

ステップ 3.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\int_{0}^{5} x^{6} d x$

ステップ 3.2

べき乗則では、 $x^{6}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{7} x^{7}$ です。

$\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{5}$

ステップ 3.3

代入し簡約します。

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ステップ 3.3.1

$5$ および $0$ で $\frac{1}{7} x^{7}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{7} \cdot 5^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7}$

ステップ 3.3.2

簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$5$ を $7$ 乗します。

$\frac{1}{7} \cdot 78125 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7}$

ステップ 3.3.2.2

$\frac{1}{7}$ と $78125$ をまとめます。

$\frac{78125}{7} - \frac{1}{7} \cdot 0^{7}$

ステップ 3.3.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{78125}{7} - \frac{1}{7} \cdot 0$

ステップ 3.3.2.4

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{78125}{7} + 0 (\frac{1}{7})$

ステップ 3.3.2.5

$0$ に $\frac{1}{7}$ をかけます。

$\frac{78125}{7} + 0$

ステップ 3.3.2.6

$\frac{78125}{7}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{78125}{7}$

ステップ 4

二乗平均平方根の公式を簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{5 - 0}$ に $\frac{78125}{7}$ をかけます。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{78125}{(5 - 0) \cdot 7}}$

ステップ 4.2

式を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{78125}{(5 + 0) \cdot 7}}$

ステップ 4.2.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{78125}{5 \cdot 7}}$

ステップ 4.3

今日数因数で約分することで式 $\frac{78125}{5 \cdot 7}$ を約分します。

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ステップ 4.3.1

$5$ を $78125$ で因数分解します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 15625}{5 \cdot 7}}$

ステップ 4.3.2

$5$ を $5 \cdot 7$ で因数分解します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 15625}{5 (7)}}$

ステップ 4.3.3

共通因数を約分します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 15625}{5 \cdot 7}}$

ステップ 4.3.4

式を書き換えます。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{15625}{7}}$

ステップ 4.4

$\sqrt{\frac{15625}{7}}$ を $\frac{\sqrt{15625}}{\sqrt{7}}$ に書き換えます。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{15625}}{\sqrt{7}}$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$15625$ を $125^{2}$ に書き換えます。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{125^{2}}}{\sqrt{7}}$

ステップ 4.5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f_{rms} = \frac{125}{\sqrt{7}}$

ステップ 4.6

$\frac{125}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$f_{rms} = \frac{125}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

ステップ 4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.7.1

$\frac{125}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

ステップ 4.7.2

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

ステップ 4.7.3

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

ステップ 4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

ステップ 4.7.6

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

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ステップ 4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7}$

ステップ 4.7.6.5

指数を求めます。

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7}$

10進法形式：

$f_{rms} = 47.24555912 \dots$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例