微分積分例

$e^{\sqrt{x}}$

ステップ 1

$e^{\sqrt{x}}$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{\sqrt{x}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int e^{\sqrt{x}} d x$

ステップ 4

$u = \sqrt{x}$ とします。次に $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ すると、 $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

$\int 2 u e^{u} d u$

ステップ 5

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int u e^{u} d u$

ステップ 6

$w = u$ と $dv = e^{u}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$2 (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

ステップ 7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$2 (u e^{u} - (e^{u} + C))$

ステップ 8

簡約します。

$2 (u e^{u} - e^{u}) + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $\sqrt{x}$ で置き換えます。

$2 (\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - e^{\sqrt{x}}) + C$

ステップ 10

答えは関数 $f (x) = e^{\sqrt{x}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $2 (\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - e^{\sqrt{x}}) + C$

微分積分 例