微分積分例

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$

ステップ 1

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 1}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 2.1.1.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.1.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.1.1.3.2.2

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.4

簡約します。

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.5

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.5.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.5.2

$2$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.6.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.9

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.11

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.11.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.11.4

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.12

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1))}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.14

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.15

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.15.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.15.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.16

公分母を利用して $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ と $- \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.16.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.16.2

$2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.16.3

$2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.16.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.17

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.18

指数を足して ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.18.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{\frac{4 x ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.18.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.18.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.18.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.18.5

$2$ を $2$ で割ります。

$f' (x) = \frac{\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.19

$4 x {(x + 1)}^{1}$ を簡約します。

$f' (x) = \frac{\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.20

$\frac{\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$ を積として書き換えます。

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.21

$\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{x + 1}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}$

ステップ 2.1.1.22

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 ((x + 1) {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 2.1.1.23

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.1.24

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.1.25

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

ステップ 2.1.1.26

$2$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.1.1.27

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.27.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.1.1.27.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.27.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.27.2.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.27.2.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.1.1.27.2.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.1.1.27.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 x - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.1.1.27.2.2

$4 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 4 x}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.1.1.27.3

$x$ を $3 x^{2} + 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.27.3.1

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x (3 x) + 4 x}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.1.1.27.3.2

$x$ を $4 x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x (3 x) + x \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.1.1.27.3.3

$x$ を $x (3 x) + x \cdot 4$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 2.1.2.2

$f (x) = x (3 x + 4)$ および $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2.3.2.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.4

$f (x) = x$ および $g (x) = 3 x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \frac{d}{d x} (3 x + 4) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

総和則では、 $3 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.5.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.5.4

$3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.5.5

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 + 0) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.5.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot 3 + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.5.6.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 \cdot x + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.5.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x + (3 x + 4) \cdot 1) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.5.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.8.1

$3 x + 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 3 x + 4) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.5.8.2

$3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.6

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.6.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.6.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.9

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.10.2

$3$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.11

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.1

$\frac{3}{2}$ と ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.11.2

$\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.12

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((3 x + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((3 x + 4) (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.14

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((3 x + 4) (1 + 0))}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.15

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.15.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4) \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.15.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.15.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{3}}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.16.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.16.1.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x) + {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4 - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4 - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.3

$4$ を ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.4

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.5

$- \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (3 x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.16.1.5.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot x - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.5.2

$- 3$ と $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot x - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.5.3

$3$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot x - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.5.4

$\frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x) x}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.5.5

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cdot x))}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.5.6

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cdot x))}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.5.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{1 + 1})}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.5.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.16.1.6.1

$- \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} + \frac{- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.6.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} + \frac{- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 (2))}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.6.3

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} + \frac{- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 \cdot 2)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.6.4

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.7

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.9

$- 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.10

$- 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} + \frac{- 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.11

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.16.1.12.1

$3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ を $- 9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.16.1.12.1.1

式を並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.16.1.12.1.1.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.12.1.1.2

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 6 x \cdot (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.12.1.1.3

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 6 \cdot (2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.12.1.2

$3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ を $- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x) - 6 \cdot (2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.12.1.3

$3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ を $- 6 \cdot 2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x) + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 2 \cdot 2)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.12.1.4

$3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ を $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x) + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 2 \cdot 2)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 2 \cdot 2)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.12.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.13

$6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.14

$6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2}{2} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.15

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.16

$4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.17

$4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.18

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.19

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20

因数分解した形で $\frac{2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.16.1.20.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.16.1.20.1.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.1.2

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.1.3

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.1.4

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.1.5

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x (- 3 x - 4))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.2

$2$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.3

$2$ を $2$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 (x + 1) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.4

簡約します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 (x + 1) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.5

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 \cdot 1 + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.6

$8$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.7

$2$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.8

$2$ を $2$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x (x + 1) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.9

簡約します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x (x + 1) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.10

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot 1 + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.11

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.16.1.20.11.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 (x \cdot x) + 12 x \cdot 1 + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.11.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x \cdot 1 + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.12

$12$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.13

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 x (- 3 x) + 3 x \cdot - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.14

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 x \cdot x) + 3 x \cdot - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.15

$- 4$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 x \cdot x) - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.16

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.16.1.20.16.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.16.1.20.16.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 (x \cdot x)) - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.16.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 x^{2}) - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.16.2

$3$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x - 9 x^{2} - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.17

$8 x$ と $12 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (20 x + 8 + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.18

$20 x$ から $12 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 + 12 x^{2} - 9 x^{2} + 8 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.19

$12 x^{2}$ から $9 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 + 3 x^{2} + 8 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.1.20.20

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.16.2.1

$\frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2} \cdot \frac{1}{2 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.2.2

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2}$ に $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{3}}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2 (2 {(x + 1)}^{3})}$

ステップ 2.1.2.16.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{4 {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16.2.4

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.2.16.2.5

指数を足して ${(x + 1)}^{3}$ に ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.16.2.5.1

${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 ({(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3})}$

ステップ 2.1.2.16.2.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 3}}$

ステップ 2.1.2.16.2.5.3

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

ステップ 2.1.2.16.2.5.4

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 2.1.2.16.2.5.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 2.1.2.16.2.5.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.16.2.5.6.1

$3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

ステップ 2.1.2.16.2.5.6.2

$- 1$ と $6$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ です。

$\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} = 0$

ステップ 2.2.2

分子を0に等しくします。

$3 x^{2} + 8 x + 8 = 0$

ステップ 2.2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.2.3.2

$a = 3$ 、 $b = 8$ 、および $c = 8$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 8)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.3.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 8$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.3.1.2.2

$- 12$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 96}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.3.1.3

$64$ から $96$ を引きます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.3.1.4

$- 32$ を $- 1 (32)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.3.1.5

$\sqrt{- 1 (32)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.3.1.7

$32$ を $4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1.7.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.3.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.3.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$

ステップ 2.2.3.3.3

$\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{3}$

ステップ 2.2.3.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.4.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.4.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 8$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.4.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.4.1.2.2

$- 12$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 96}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.4.1.3

$64$ から $96$ を引きます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.4.1.4

$- 32$ を $- 1 (32)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.4.1.5

$\sqrt{- 1 (32)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.4.1.7

$32$ を $4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.4.1.7.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.4.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.4.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$

ステップ 2.2.3.4.3

$\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{3}$

ステップ 2.2.3.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

ステップ 2.2.3.4.5

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

ステップ 2.2.3.4.6

$- 1$ を $2 i \sqrt{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - (- 2 i \sqrt{2})}{3}$

ステップ 2.2.3.4.7

$- 1$ を $- 1 (4) - (- 2 i \sqrt{2})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (4 - 2 i \sqrt{2})}{3}$

ステップ 2.2.3.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{4 - 2 i \sqrt{2}}{3}$

ステップ 2.2.3.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.5.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.5.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 8$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.5.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.5.1.2.2

$- 12$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 96}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.5.1.3

$64$ から $96$ を引きます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.5.1.4

$- 32$ を $- 1 (32)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.5.1.5

$\sqrt{- 1 (32)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.5.1.7

$32$ を $4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.5.1.7.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.5.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.5.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$

ステップ 2.2.3.5.3

$\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{3}$

ステップ 2.2.3.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 4 - 2 i \sqrt{2}}{3}$

ステップ 2.2.3.5.5

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - 2 i \sqrt{2}}{3}$

ステップ 2.2.3.5.6

$- 1$ を $- 2 i \sqrt{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - (2 i \sqrt{2})}{3}$

ステップ 2.2.3.5.7

$- 1$ を $- 1 (4) - (2 i \sqrt{2})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (4 + 2 i \sqrt{2})}{3}$

ステップ 2.2.3.5.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

ステップ 2.2.3.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{4 - 2 i \sqrt{2}}{3}, - \frac{4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

ステップ 3

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt{x + 1}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x + 1 \geq 0$

ステップ 3.2

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$x \geq - 1$

ステップ 3.3

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{x + 1} = 0$

ステップ 3.4

$x$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x + 1}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.4.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 1}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1.1

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.4.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.4.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.4.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x + 1)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

簡約します。

$x + 1 = 0^{2}$

ステップ 3.4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x + 1 = 0$

ステップ 3.4.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 3.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- 1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > - 1}$

区間記号：

$(- 1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > - 1}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- 1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- 1, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{3 {(0)}^{2} + 8 (0) + 8}{4 {((0) + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 0 + 8 (0) + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 5.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{0 + 8 (0) + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 5.2.1.3

$8$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 5.2.1.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{0 + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 5.2.1.5

$0$ と $8$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{8}{4 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 5.2.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (0) = \frac{8}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3

式を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{8}{4}$

ステップ 5.2.3.2

$8$ を $4$ で割ります。

$f'' (0) = 2$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- 1, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- 1, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例